Tribus et mesures

Quelles sont les trois propriétés définissant une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ ?

Une tribu doit contenir $\Omega$, être stable par passage au complémentaire, et stable par réunion dénombrable — ces trois axiomes entraînent toutes les autres propriétés de stabilité (intersection dénombrable, différence, etc.) par les lois de De Morgan.

Vrai ou faux : la mesure de Lebesgue d'un singleton $\{a\}$ est nulle.

Vrai. $\{a\}=\bigcap_n\,]a-1/n,a+1/n[$, et par continuité décroissante, $\lambda(\{a\})=\lim_n\lambda(]a-1/n,a+1/n[)=\lim_n(2/n)=0$.

Quelle est la valeur de la mesure de Lebesgue de l'ensemble $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ ?

$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ est dénombrable (réunion dénombrable de singletons, chacun de mesure nulle), donc par $\sigma$-additivité, sa mesure de Lebesgue est $\sum0=0$.

Vrai ou faux : une mesure $\mu$ vérifie toujours $\mu(\emptyset)=0$.

Vrai. C'est l'un des deux axiomes définissant une mesure (avec la $\sigma$-additivité) — sans cette condition, la mesure dite « identiquement $+\infty$ » vérifierait trivialement la $\sigma$-additivité sans être une mesure utile.

Que signifie qu'une propriété est vraie « presque partout » pour la mesure de Lebesgue ?

« Presque partout » signifie que l'ensemble des points où la propriété échoue est négligeable (mesure nulle) — pas qu'elle est vraie absolument partout sans exception.

Pourquoi la fonction de Dirichlet $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ (sur $[0,1]$) n'est-elle pas Riemann-intégrable ?

Comme $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sont tous deux denses dans $\mathbb{R}$, toute subdivision de $[0,1]$, même très fine, contient des points des deux types dans chaque sous-intervalle : la somme de Darboux supérieure vaut toujours $1$ (sup $=1$ sur chaque sous-intervalle) et l'inférieure toujours $0$ (inf $=0$), donc elles ne convergent jamais vers une valeur commune.

Si $(A_n)_{n\geq1}$ est une suite croissante d'ensembles mesurables avec $\mu(A_1)=2$ et $\mu(A_n)\to5$, que vaut $\mu\big(\bigcup_nA_n\big)$ ?

Par continuité croissante des mesures, $\mu\big(\bigcup_nA_n\big)=\lim_n\mu(A_n)=5$.

Vrai ou faux : toute réunion dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

Vrai. Par sous-additivité de la mesure (conséquence de la $\sigma$-additivité), $\mu\big(\bigcup_nN_n\big)\leq\sum_n\mu(N_n)=\sum_n0=0$, donc la réunion est aussi négligeable. C'est la raison pour laquelle $\mathbb{Q}$ (réunion dénombrable de singletons) est négligeable.

Pourquoi la condition de continuité décroissante des mesures nécessite-t-elle l'hypothèse $\mu(A_1)<\infty$ ?

Le contre-exemple classique : avec $\mu=\lambda$ (Lebesgue) et $A_n=[n,+\infty[$, on a $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$, $\bigcap_nA_n=\emptyset$ (donc $\mu(\bigcap A_n)=0$), mais $\mu(A_n)=+\infty$ pour tout $n$, donc $\lim_n\mu(A_n)=+\infty\neq0$. L'hypothèse $\mu(A_1)<\infty$ est donc essentielle.

Démontrer que la mesure de Lebesgue est croissante : si $A\subseteq B$ (mesurables), alors $\lambda(A)\leq\lambda(B)$.

Décomposition. Comme $A\subseteq B$, on peut écrire $B$ comme une réunion disjointe : $B = A\,\cup\,(B\setminus A)$, avec $A\cap(B\setminus A)=\emptyset$.

Application de l'additivité. Par $\sigma$-additivité (appliquée au cas particulier d'une union finie de deux ensembles disjoints) :

Conclusion. Comme $\lambda$ prend ses valeurs dans $[0,+\infty]$, on a nécessairement $\lambda(B\setminus A)\geq0$, donc :

Démontrer la sous-additivité dénombrable : pour toute suite $(A_n)_{n\geq1}$ d'ensembles mesurables (pas nécessairement disjoints), $\mu\big(\bigcup_nA_n\big)\leq\sum_n\mu(A_n)$.

Construction d'ensembles disjoints. Posons $B_1=A_1$ et, pour $n\geq2$, $B_n=A_n\setminus(A_1\cup\cdots\cup A_{n-1})$. Les $B_n$ sont deux à deux disjoints par construction, et on vérifie que $\bigcup_nB_n=\bigcup_nA_n$ (chaque point de l'union appartient à un premier $A_n$, donc à $B_n$).

Utilisation de la croissance. Comme $B_n\subseteq A_n$, la croissance de la mesure (exercice précédent) donne $\mu(B_n)\leq\mu(A_n)$.

Application de la $\sigma$-additivité (sur les $B_n$, disjoints) :

Soit $\mu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ (donc $\mu(A)=\text{Card}(A)$). Calculer $\mu(\{2k:k\in\mathbb{N}\})$ (les entiers pairs) et en déduire que la mesure de comptage d'un ensemble infini n'est jamais nulle.

Calcul direct. L'ensemble des entiers pairs $\{2k:k\in\mathbb{N}\}$ est en bijection avec $\mathbb{N}$ (via $k\mapsto2k$), donc il est infini dénombrable. Par définition de la mesure de comptage (qui vaut $+\infty$ sur tout ensemble infini), $\mu(\{2k:k\in\mathbb{N}\})=+\infty$.

Généralisation. Pour la mesure de comptage, $\mu(A)=0$ si et seulement si $\text{Card}(A)=0$, c'est-à-dire $A=\emptyset$. Donc aucun ensemble infini, ni même aucun ensemble non vide fini, n'est négligeable pour cette mesure (un singleton a déjà $\mu(\{a\})=1\neq0$) — contrairement à la mesure de Lebesgue, où les singletons et les ensembles dénombrables sont négligeables. Ceci illustre que la notion de « négligeable » dépend fondamentalement du choix de la mesure $\mu$, pas seulement de l'ensemble considéré.

Vrai ou faux : l'ensemble triadique de Cantor (construit en retirant à chaque étape le tiers central de chaque segment, à partir de $[0,1]$) est non dénombrable mais de mesure de Lebesgue nulle.

Vrai — c'est un résultat classique et surprenant. L'ensemble de Cantor a la même cardinalité que $\mathbb{R}$ (non dénombrable, par un argument de développement en base 3), mais sa mesure de Lebesgue est $0$ : à l'étape $n$, la longueur totale retirée cumulée tend vers $1$ (on retire $\sum_{k=0}^{+\infty}2^k/3^{k+1}=1$ au total), donc il ne reste aucune longueur. Cela illustre que « négligeable au sens de la mesure » et « petit au sens du cardinal » sont deux notions indépendantes.

Démontrer que pour deux ensembles mesurables $A,B$ (de mesures finies), $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$.

Décomposition en parties disjointes. On écrit $A\cup B$ comme la réunion disjointe de trois ensembles : $A\setminus B$, $A\cap B$, $B\setminus A$. Par additivité (cas fini de la $\sigma$-additivité) :

Décompositions de $\mu(A)$ et $\mu(B)$ séparément. De même, $A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)$ (disjoint), donc $\mu(A)=\mu(A\setminus B)+\mu(A\cap B)$. Et $B=(B\setminus A)\cup(A\cap B)$ (disjoint), donc $\mu(B)=\mu(B\setminus A)+\mu(A\cap B)$.

Combinaison. En sommant les deux dernières égalités :

En comparant avec l'expression de $\mu(A\cup B)$ obtenue plus haut :

D'où, en réarrangeant (toutes les quantités étant finies par hypothèse, la soustraction est licite) :

Expliquer pourquoi il n'existe pas de mesure $\mu$ définie sur toutes les parties de $\mathbb{R}$, invariante par translation et vérifiant $\mu([0,1])=1$ — résultat lié à l'existence d'ensembles non mesurables (Vitali).

L'argument de Vitali (esquisse). On définit la relation d'équivalence $x\sim y \iff x-y\in\mathbb{Q}$ sur $[0,1]$. En utilisant l'axiome du choix, on construit un ensemble $V\subset[0,1]$ contenant exactement un représentant de chaque classe d'équivalence.

Translatés disjoints. Pour $q\in\mathbb{Q}\cap[-1,1]$ (ensemble dénombrable), les translatés $V+q=\{v+q:v\in V\}$ sont deux à deux disjoints (si $(v+q)=(v'+q')$ avec $v,v'\in V$, alors $v-v'=q'-q\in\mathbb{Q}$, donc $v\sim v'$, donc $v=v'$ par construction de $V$, donc $q=q'$). De plus, $[0,1]\subseteq\bigcup_qV+q\subseteq[-1,2]$.

Contradiction si $V$ est mesurable. Si $\mu$ existe (invariante par translation, donc $\mu(V+q)=\mu(V)=m$ pour tout $q$) et que $V$ est mesurable :
- Si $m>0$ : par $\sigma$-additivité sur l'union disjointe dénombrable, $\mu\big(\bigcup_qV+q\big)=\sum_q m=+\infty$ (somme infinie de termes égaux à $m>0$). Mais cette union est contenue dans $[-1,2]$, de mesure finie $3$ — contradiction.
- Si $m=0$ : alors $\mu\big(\bigcup_qV+q\big)=\sum_q0=0$. Mais cette union contient $[0,1]$, donc $\mu\big(\bigcup_qV+q\big)\geq\mu([0,1])=1$ — contradiction.

Conclusion. Dans les deux cas, on obtient une contradiction : $V$ ne peut donc pas être mesurable. Il est donc impossible de définir une mesure $\mu$ sur toutes les parties de $\mathbb{R}$, invariante par translation, avec $\mu([0,1])=1$ — c'est précisément pourquoi la théorie de la mesure restreint l'intégration à une tribu (comme la tribu borélienne, ou sa complétée la tribu de Lebesgue), strictement plus petite que l'ensemble de toutes les parties de $\mathbb{R}$. $\square$