Équations complexes et racines n-ièmes

Équations complexes et racines n-ièmes

### 1. Racines carrées d'un nombre complexe quelconque

Soit $Z \in \mathbb{C}^*$. On cherche $z \in \mathbb{C}$ tel que $z^2 = Z$. En écrivant $z = x+iy$ et $Z = a+ib$ ($x,y,a,b\in\mathbb{R}$), l'équation $z^2=Z$ équivaut au système :

où la troisième équation (égalité des modules de $z^2$ et $Z$, i.e. $|z|^2=|Z|$) est ajoutée pour faciliter la résolution. On en déduit $x^2$ et $y^2$ par somme et différence des deux premières et de la troisième, le signe de $xy$ (donné par $b$) permettant de choisir les signes relatifs de $x$ et $y$.

Exemple résolu. Calculer les racines carrées de $Z = -3+4i$.

On pose $z=x+iy$ avec $z^2=-3+4i$ :

En ajoutant la première et la troisième : $2x^2=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$. En les soustrayant : $2y^2=8 \Rightarrow y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2$. Comme $2xy=4>0$, $x$ et $y$ sont de même signe. Les solutions sont donc $z = 1+2i$ et $z=-1-2i$.

Vérification : $(1+2i)^2 = 1+4i+4i^2 = 1+4i-4 = -3+4i$. ✓

Tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.

### 2. Équation du second degré à coefficients complexes

Soit l'équation $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c \in \mathbb{C}$, $a\neq 0$. On définit le discriminant complexe :

Comme tout complexe non nul possède une racine carrée, on peut toujours écrire $\Delta = \delta^2$ pour un certain $\delta \in \mathbb{C}$ (l'une des deux racines carrées de $\Delta$, obtenue par la méthode du paragraphe précédent si $\Delta \notin \mathbb{R}_+$). Les solutions de l'équation sont alors :

Si $\Delta = 0$, l'équation a une unique solution double $z_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Contrairement au cas réel, toute équation du second degré à coefficients complexes admet des solutions dans $\mathbb{C}$, sans condition de signe sur $\Delta$.

Exemple résolu. Résoudre $z^2 - 2iz - 1 + 2i = 0$.

On a $a=1$, $b=-2i$, $c=-1+2i$. Le discriminant est :

On cherche $\delta=x+iy$ tel que $\delta^2=-8i$ : $x^2-y^2=0$, $2xy=-8$, $x^2+y^2=8$. De $x^2-y^2=0$ et $x^2+y^2=8$ on tire $x^2=y^2=4$, donc $x=\pm 2$, $y=\pm 2$. Comme $2xy=-8<0$, $x$ et $y$ sont de signes opposés : $\delta = 2-2i$ (ou son opposé). On obtient :

Vérification (somme et produit) : $z_1+z_2 = 1+(-1+2i) = 2i = -b/a$ ✓ et $z_1 z_2 = 1\times(-1+2i) = -1+2i = c/a$ ✓.

### 3. Racines n-ièmes de l'unité

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution de l'équation $z^n = 1$. En écrivant $z = re^{i\theta}$, l'équation $z^n=1=e^{i\cdot 0}$ équivaut à $r^n=1$ et $n\theta \equiv 0 \;(\text{mod } 2\pi)$, soit $r=1$ (car $r>0$) et $\theta = \dfrac{2k\pi}{n}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Il y a exactement $n$ racines distinctes, obtenues pour $k=0,1,\dots,n-1$ :

On note souvent $\omega = e^{2i\pi/n}$, de sorte que les racines sont $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$. Leur somme est nulle pour $n\geq 2$ :

(somme d'une suite géométrique de raison $\omega\neq 1$ et de premier terme $1$, qui vaut $\dfrac{\omega^n-1}{\omega-1}=\dfrac{0}{\omega-1}=0$).

Exemple résolu. Déterminer les racines cubiques de l'unité.

Avec $n=3$ : $z_k = e^{2ik\pi/3}$ pour $k=0,1,2$, soit :

### 4. Racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Soit $Z = re^{i\theta} \in \mathbb{C}^*$ ($r>0$). On cherche les solutions de $z^n = Z$. En écrivant $z=\rho e^{i\varphi}$, l'équation équivaut à $\rho^n = r$ et $n\varphi \equiv \theta \;(\text{mod } 2\pi)$, soit $\rho = r^{1/n}$ (racine $n$-ième réelle positive, unique) et $\varphi = \dfrac{\theta+2k\pi}{n}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes :

Elles s'obtiennent toutes à partir d'une racine $n$-ième particulière $z_0$ en la multipliant par les racines $n$-ièmes de l'unité : $z_k = z_0 \,\omega^k$ avec $\omega=e^{2i\pi/n}$.

Exemple résolu. Déterminer les racines cubiques de $Z = 8i$.

On écrit $Z = 8i = 8\,e^{i\pi/2}$ (module $r=8$, argument $\theta=\pi/2$). Les racines cubiques sont :

- $k=0$ : $z_0 = 2e^{i\pi/6} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}+i$
- $k=1$ : $z_1 = 2e^{i(\pi/6+2\pi/3)} = 2e^{i5\pi/6} = 2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) = -\sqrt{3}+i$
- $k=2$ : $z_2 = 2e^{i(\pi/6+4\pi/3)} = 2e^{i3\pi/2} = 2(0-i) = -2i$

Vérification rapide : $(\sqrt{3}+i)^2 = 3+2\sqrt{3}i-1 = 2+2\sqrt{3}i$, puis $(\sqrt{3}+i)^3 = (\sqrt{3}+i)(2+2\sqrt{3}i) = 2\sqrt{3}+6i+2i+2\sqrt{3}i^2 = 2\sqrt{3}+8i-2\sqrt{3} = 8i$ ✓.

### 5. Représentation géométrique : polygones réguliers

Les images des racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un des sommets étant le point d'affixe $1$. Plus généralement, les racines $n$-ièmes d'un complexe $Z=re^{i\theta}$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $r^{1/n}$, le premier sommet étant à l'angle $\theta/n$.

Exemple résolu (suite du paragraphe 4). Les trois racines cubiques de $8i$ — soit $\sqrt{3}+i$, $-\sqrt{3}+i$, $-2i$ — ont toutes pour module $2$ et sont donc les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$, les arguments $\pi/6$, $5\pi/6$, $3\pi/2$ étant régulièrement espacés de $2\pi/3$.

### 6. Factorisation de $z^n-1$ et applications

De l'identité $z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega^k)$ (où $\omega=e^{2i\pi/n}$), on tire en particulier, pour $n\geq 2$, la factorisation classique :

En regroupant les racines conjuguées deux à deux (sauf $1$, et $-1$ si $n$ pair), on peut aussi factoriser $z^n-1$ en produit de facteurs réels du second degré, ce qui est utile pour des calculs de sommes trigonométriques.

### 7. Équations bicarrées et changements de variable

Certaines équations de degré supérieur à $2$ se ramènent à des équations du second degré par changement de variable.

Exemple résolu. Résoudre $z^4 - (1+i)z^2 + i = 0$.

On pose $u=z^2$ : l'équation devient $u^2-(1+i)u+i=0$. Discriminant : $\Delta = (1+i)^2-4i = 1+2i-1-4i = -2i$. On cherche $\delta=x+iy$ avec $\delta^2=-2i$ : $x^2-y^2=0$, $2xy=-2$, $x^2+y^2=2$, d'où $x^2=y^2=1$ et (signes opposés car $2xy<0$) $\delta=1-i$. Donc :

On résout ensuite $z^2=1$ (racines $z=\pm 1$) et $z^2=i=e^{i\pi/2}$ (racines $z=e^{i\pi/4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ et son opposé). L'équation de degré $4$ a donc quatre solutions : $1$, $-1$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$, $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

### 8. Synthèse des formules essentielles

| Notion | Formule |
|---|---|
| Discriminant complexe | $\Delta = b^2-4ac$, racines $z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ avec $\delta^2=\Delta$ |
| Racines $n$-ièmes de l'unité | $z_k = e^{2ik\pi/n}$, $k=0,\dots,n-1$ |
| Racines $n$-ièmes de $Z=re^{i\theta}$ | $z_k = r^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$, $k=0,\dots,n-1$ |
| Somme des racines $n$-ièmes de l'unité ($n\geq 2$) | $0$ |