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Licence 1 · Nombres complexes

Forme trigonométrique, exponentielle et formule de Moivre

### 1. Argument d'un nombre complexe non nul

Soit $z \in \mathbb{C}^*$ d'image $M$ dans le plan complexe. Un argument de $z$ , noté $\arg(z)$ , est une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ . Il est défini modulo $2\pi$ : si $\theta_0$ est un argument de $z$ , tous les arguments de $z$ sont $\theta_0 + 2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Si $z = a+ib$ a pour module $r=|z|$ et pour argument $\theta$ , alors :

a = r\cos\theta \qquad b = r\sin\theta \qquad \text{donc} \qquad \cos\theta = \dfrac{a}{r}, \quad \sin\theta = \dfrac{b}{r}

Exemple résolu. Déterminer module et argument de $z = \sqrt{3}+i$ .

r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2

\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\theta = \dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \theta = \dfrac{\pi}{6} \;(\text{mod } 2\pi)

### 2. Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit :

z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad r = |z| > 0,\; \theta = \arg(z)

C'est la forme trigonométrique (ou polaire) de $z$ . Elle est particulièrement adaptée à la multiplication.

Propriété (multiplication et division en forme polaire). Si $z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$ , alors :

zz' = rr'\big(\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta')\big) \qquad \dfrac{z}{z'} = \dfrac{r}{r'}\big(\cos(\theta-\theta') + i\sin(\theta-\theta')\big)

On retrouve ainsi un résultat fondamental : les modules se multiplient (ou se divisent) et les arguments s'additionnent (ou se soustraient) :

|zz'| = |z||z'| \qquad \arg(zz') = \arg(z)+\arg(z') \;(\text{mod } 2\pi)

\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z)-\arg(z') \;(\text{mod } 2\pi) \qquad \arg(\overline{z}) = -\arg(z) \;(\text{mod } 2\pi)

### 3. Notation exponentielle complexe

On définit, pour $\theta \in \mathbb{R}$ :

e^{i\theta} := \cos\theta + i\sin\theta

Cette notation est cohérente avec les propriétés de l'exponentielle car elle vérifie la même règle fonctionnelle :

e^{i\theta}\cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}

ce qui se vérifie directement à partir des formules d'addition trigonométriques :

(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta'+i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta') = \cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')

Tout complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle :

z = re^{i\theta}, \qquad r=|z|, \; \theta=\arg(z)

Propriétés immédiates :

|e^{i\theta}| = 1 \qquad \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta}} \qquad e^{i\theta} = e^{i\theta'} \iff \theta \equiv \theta' \;(\text{mod } 2\pi)

### 4. Formule d'Euler

Directement issue de la définition $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et de son conjugué $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$ , on obtient les formules d'Euler :

\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

Ces formules permettent de transformer puissances et produits de fonctions trigonométriques en sommes d'exponentielles complexes, technique appelée linéarisation.

### 5. Formule de Moivre

Pour $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ , en élevant $e^{i\theta}$ à la puissance $n$ via $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ , on obtient la formule de Moivre :

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

Cette formule permet d'exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ (en développant le membre de gauche par le binôme de Newton), ou plus généralement de calculer des puissances de complexes écrits en forme trigonométrique.

Exemple résolu. Calculer $(1+i)^8$ .

On met $1+i$ sous forme exponentielle : $|1+i|=\sqrt{2}$ et $\arg(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$ , donc $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ . Par suite :

(1+i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 e^{i\cdot 8\cdot \pi/4} = 2^4 e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16

### 6. Linéarisation trigonométrique

La linéarisation consiste à exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ (ou leurs produits) comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ , $\sin(k\theta)$ , en utilisant les formules d'Euler puis le binôme de Newton.

Exemple résolu. Linéariser $\cos^3\theta$ .

D'après Euler, $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ , donc :

\cos^3\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\left(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right)

en développant par le binôme de Newton

(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

avec

x=e^{i\theta}

y=e^{-i\theta}

. On regroupe les termes conjugués :

\cos^3\theta = \dfrac{1}{8}\left(\left(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}\right) + 3\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)\right) = \dfrac{1}{8}\big(2\cos(3\theta) + 6\cos\theta\big) = \dfrac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}

### 7. Application inverse : développement de $\cos(n\theta)$

Réciproquement, la formule de Moivre permet de développer $\cos(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ .

Exemple résolu. Exprimer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ .

Par Moivre : $\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^3$ . On développe le membre de droite :

(\cos\theta+i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta

En identifiant la partie réelle (qui doit valoir

\cos(3\theta)

) :

\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

### 8. Forme exponentielle et opérations géométriques

La forme exponentielle traduit immédiatement les transformations géométriques classiques :
- La rotation d'angle $\theta$ et de centre $O$ envoie $z$ sur $e^{i\theta}z$
- L'homothétie de rapport $k>0$ et de centre $O$ envoie $z$ sur $kz$
- La similitude directe de centre $O$ , de rapport $r$ et d'angle $\theta$ envoie $z$ sur $re^{i\theta}z$

### 9. Synthèse des formules essentielles

| Notion | Formule |
|---|---|
| Forme trigonométrique | $z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$ |
| Forme exponentielle | $z = re^{i\theta}$ |
| Formules d'Euler | $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ , $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ |
| Formule de Moivre | $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
| Produit | $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ |

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quel est le module de $z = 2e^{i\pi/3}$ ?

Corrigé

Sous la forme exponentielle $z=re^{i\theta}$ , le module est $r$ . Ici $r=2$ .

Exercice 2

Déterminer l'argument de $z = -1$ (à $2\pi$ près).

Corrigé

$-1 = 1\cdot(\cos\pi+i\sin\pi)$ , donc $\arg(-1) = \pi$ .

Exercice 3

Donner la forme exponentielle de $z = i$ .

Corrigé

$|i|=1$ et $\arg(i)=\pi/2$ car $i = \cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)$ . Donc $i = e^{i\pi/2}$ .

Exercice 4

Vrai ou faux : $|e^{i\theta}| = 1$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ .

Corrigé

Vrai. $|e^{i\theta}|^2 = \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1$ , donc $|e^{i\theta}|=1$ pour tout $\theta$ .

Exercice 5

Quel est le module et l'argument de $z = \sqrt{3}+i$ ?

Corrigé

$r = \sqrt{3+1}=2$ . Puis $\cos\theta=\sqrt{3}/2$ et $\sin\theta=1/2$ , donc $\theta=\pi/6$ .

Exercice 6

Calculer $e^{i\pi/3} \times e^{i\pi/6}$ sous forme exponentielle.

Corrigé

Les arguments s'additionnent : $\pi/3+\pi/6 = 2\pi/6+\pi/6=3\pi/6=\pi/2$ . Donc le produit vaut $e^{i\pi/2}$ .

Exercice 7

Calculer $(1+i)^8$ en utilisant la formule de Moivre.

Corrigé

$1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$ . Donc $(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i\cdot 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16$ .

Exercice 8

Vrai ou faux : pour tous $z,z'\in\mathbb{C}^*$ , $\arg(zz') = \arg(z)+\arg(z')$ (égalité exacte, sans modulo).

Corrigé

Faux. L'égalité n'est valable que modulo $2\pi$ : $\arg(zz') \equiv \arg(z)+\arg(z') \;(\text{mod } 2\pi)$ . Sans cette précision, l'égalité peut être fausse car les arguments usuels sont choisis dans un intervalle de longueur $2\pi$ .

Exercice 9

Donner les formules d'Euler pour $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

Corrigé

En sommant $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$ , on obtient $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ . En les soustrayant, $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ .

Exercice 10

Calculer $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{2024}$ .

Corrigé

$\dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{e^{i\pi/4}}{e^{-i\pi/4}} = e^{i\pi/2} = i$ . Comme $2024 = 4\times 506$ , on a $i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1$ .

Exercice 11

Linéariser $\sin^3\theta$ , c'est-à-dire l'exprimer comme combinaison linéaire de $\sin(\theta)$ et $\sin(3\theta)$ .

Corrigé

Linéarisation. D'après la formule d'Euler, $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ . Donc :

\sin^3\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \dfrac{1}{(2i)^3}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^3

On développe le cube avec

(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

x=e^{i\theta}

y=e^{-i\theta}

\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^3 = e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta} = \left(e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}\right) - 3\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)

(2i)^3 = 8i^3 = -8i

. On regroupe en facteurs

2i

\sin^3\theta = \dfrac{2i\sin(3\theta) - 3\cdot 2i\sin\theta}{-8i} = \dfrac{2i\big(\sin(3\theta)-3\sin\theta\big)}{-8i} = \dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}

\square

Exercice 12

En utilisant la formule de Moivre avec $n=3$ , exprimer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ .

Corrigé

En développant $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ et en identifiant la partie réelle à $\cos(3\theta)$ , on obtient $\cos(3\theta) = \cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$ . Avec $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ : $\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta-3\cos\theta$ .

Exercice 13

Démontrer la formule de Moivre $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ pour $n \in \mathbb{N}$ , par récurrence.

Corrigé

Démonstration par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ .

Initialisation ( $n=0$ ) : $(\cos\theta+i\sin\theta)^0 = 1 = \cos(0)+i\sin(0)$ . La propriété est vraie.

Hérédité : supposons $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ pour un certain $n\in\mathbb{N}$ . Alors :

(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1} = (\cos\theta+i\sin\theta)^n(\cos\theta+i\sin\theta) = \big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big)(\cos\theta+i\sin\theta)

On développe :

= \cos(n\theta)\cos\theta - \sin(n\theta)\sin\theta + i\big(\sin(n\theta)\cos\theta+\cos(n\theta)\sin\theta\big)

En reconnaissant les formules d'addition

\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B

\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B

avec

A=n\theta

B=\theta

= \cos\big((n+1)\theta\big) + i\sin\big((n+1)\theta\big)

La propriété est donc vraie au rang

n+1

. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

n\in\mathbb{N}

\square

Exercice 14

Soit $z = e^{i\pi/5}$ . Combien de valeurs distinctes prend $z^n$ lorsque $n$ décrit $\mathbb{Z}$ ?

Corrigé

$z^n = e^{in\pi/5}$ . Deux valeurs $z^n$ et $z^m$ coïncident si et seulement si $n\pi/5 \equiv m\pi/5 \;(\text{mod } 2\pi)$ , c'est-à-dire $n\equiv m \;(\text{mod } 10)$ . Il y a donc exactement $10$ valeurs distinctes, atteintes pour $n=0,1,\dots,9$ .

Exercice 15

Vrai ou faux : pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ , $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$ .

Corrigé

Vrai. $\overline{e^{i\theta}} = \overline{\cos\theta+i\sin\theta} = \cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta)+i\sin(-\theta) = e^{-i\theta}$ , en utilisant la parité de $\cos$ et l'imparité de $\sin$ .

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