Ensembles de nombres et valeur absolue

Les ensembles de nombres

Depuis le collège, vous avez rencontré différents types de nombres. Au lycée, on les organise en ensembles emboîtés :

Ensemble

Nom

Exemples

|---|---|---|

$\mathbb{N}$	Entiers naturels	$0, 1, 2, 3, \dots$
$\mathbb{Z}$	Entiers relatifs	$\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\mathbb{D}$	Nombres décimaux	$3{,}25\ ;\ -0{,}7\ ;\ 2$
$\mathbb{Q}$	Nombres rationnels	$\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{-5}{2}$
$\mathbb{R}$	Nombres réels	$\sqrt{2}\ ;\ \pi\ ;\ -\dfrac{1}{3}$

Remarque : Ces ensembles sont emboîtés les uns dans les autres :

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Un nombre comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ : on dit qu'il est irrationnel.

Reconnaître l'appartenance à un ensemble

- $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ a une écriture décimale infinie : ce n'est pas un décimal, mais c'est un rationnel ( $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ ).
- $\sqrt{2} \approx 1{,}414\ldots$ a une écriture décimale infinie non périodique : il est irrationnel, donc $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel $x$ , notée $|x|$ , est sa distance à $0$ sur la droite numérique.

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Exemples : $|7| = 7 \qquad |-7| = 7 \qquad |0| = 0$

Propriété clé : Pour deux réels $a$ et $b$ , la distance entre $a$ et $b$ sur la droite numérique est $|a-b|$ .

Exemple : la distance entre $-3$ et $5$ est $|5-(-3)| = |8| = 8$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

À quel ensemble appartient $-5$ (le plus petit ensemble possible parmi $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ ) ?

Corrigé

$-5$ est un entier négatif : il appartient à $\mathbb{Z}$ (et donc aussi à $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ), mais pas à $\mathbb{N}$ qui ne contient que les entiers positifs ou nuls.

Exercice 2

Que vaut $|-12|$ ?

Corrigé

La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|-12| = 12$ .

Exercice 3

$\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.

Corrigé

$\sqrt{2}$ a une écriture décimale infinie non périodique : il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction $\dfrac{p}{q}$ . C'est un nombre irrationnel, il appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ .

Exercice 4

Quelle est la distance entre $-4$ et $9$ sur la droite numérique ?

Corrigé

La distance entre $a$ et $b$ est $|a-b|$ . Ici $|9 - (-4)| = |13| = 13$ .

Exercice 5

Résous l'équation $|x - 3| = 5$ et donne les deux solutions.

Corrigé

Une équation du type $|x-a| = r$ (avec $r > 0$ ) a toujours deux solutions, situées à distance $r$ de $a$ de part et d'autre.

AlphaMath Académie · Ensembles de nombres et valeur absolue · Nombres et calculs