αAlphaMath

Fiche récapitulative générée pour impression / export PDF.

2nde · Nombres et calculs

Identités remarquables et applications

Retour sur les identités remarquables

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)(a+b)=a2−b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \qquad (a-b)(a+b)=a^2-b^2

Utiliser les identités pour calculer mentalement

Ces formules permettent de calculer rapidement certains carrés ou produits.

Exemple : 992=(100−1)2=1002−2×100×1+12=10000−200+1=980199^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2\times100\times1 + 1^2 = 10000-200+1 = 9801

Exemple : 52×48=(50+2)(50−2)=502−22=2500−4=249652 \times 48 = (50+2)(50-2) = 50^2 - 2^2 = 2500-4=2496

Factoriser avec les identités remarquables

Reconnaître la forme a2−b2a^2-b^2, a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 ou a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2 permet de factoriser une expression.

Exemple : 9x2−25=(3x)2−52=(3x−5)(3x+5)9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)

Exemple : x2+10x+25=x2+2×x×5+52=(x+5)2x^2+10x+25 = x^2 + 2\times x \times 5 + 5^2 = (x+5)^2

Méthode pour factoriser a2−b2a^2-b^2

1. Écrire chaque terme comme un carré : a2a^2 et b2b^2.
2. Identifier aa et bb (en prenant la racine carrée).
3. Appliquer (a−b)(a+b)(a-b)(a+b).

Astuce : Pour reconnaître un carré parfait comme 2525, 4949, 100100, x2x^2, 4x24x^2, 9x29x^2… il faut être à l'aise avec les carrés des nombres usuels et des racines de variables.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Factorise x2−49x^2 - 49.

Corrigé

x2−49=x2−72x^2-49 = x^2 - 7^2, qui est de la forme a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b) avec a=xa=x et b=7b=7.

Exercice 2

x2+6x+9x^2+6x+9 est égal à :

Corrigé

x2+6x+9=x2+2×x×3+32=(x+3)2x^2+6x+9 = x^2 + 2\times x \times 3 + 3^2 = (x+3)^2.

Exercice 3

L'identité (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2-b^2 permet de calculer 98×10298 \times 102 facilement en l'écrivant (100−2)(100+2)(100-2)(100+2).

Corrigé

98×102=(100−2)(100+2)=1002−22=10000−4=999698\times102 = (100-2)(100+2) = 100^2-2^2 = 10000-4=9996, ce qui est bien plus rapide qu'une multiplication directe.

Exercice 4

En utilisant une identité remarquable, calcule 1012101^2.

Corrigé

1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12=10000+200+1=10201101^2 = (100+1)^2 = 100^2+2\times100\times1+1^2 = 10000+200+1=10201.

Exercice 5

Factorise complètement l'expression E=4x2−9E = 4x^2 - 9 puis utilise cette factorisation pour résoudre l'équation E=0E = 0.

Corrigé

La factorisation transforme l'équation en un produit de facteurs : on utilise alors la propriété du produit nul, fondamentale en algèbre.

AlphaMath Académie · Identités remarquables et applications · Nombres et calculs