Intervalles de nombres réels

Qu'est-ce qu'un intervalle ?

Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ formé de tous les nombres réels compris entre deux bornes (ou allant jusqu'à l'infini).

Les différents types d'intervalles

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Remarque : $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels : un crochet à côté de l'infini est toujours ouvert, c'est-à-dire $]$ ou $[$ tourné « vers l'extérieur ».

Représentation sur une droite numérique

On représente un intervalle par un trait épais entre les deux bornes :
- un point plein (ou crochet fermé) indique que la borne est incluse ;
- un point vide (ou crochet ouvert) indique que la borne est exclue.

Exemple : $[-2;3[$ se représente par un trait de $-2$ (point plein) à $3$ (point vide).

Union et intersection d'intervalles

- L'intersection $I \cap J$ contient les réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$.
- La réunion $I \cup J$ contient les réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux).

📌 Méthode : pour déterminer $I \cap J$ ou $I \cup J$, il est très utile de placer les deux intervalles sur une même droite numérique, l'un sous l'autre, pour visualiser les parties communes.

Exemple : soit $I = [-1;4]$ et $J = [2;7]$.
- $I \cap J = [2;4]$ (la partie commune, entre $2$ et $4$).
- $I \cup J = [-1;7]$ (car les deux intervalles se chevauchent, on peut les réunir en un seul intervalle continu).

Exemple (intervalles disjoints) : soit $I = [0;2]$ et $J = [5;8]$. Comme $I$ et $J$ n'ont aucun réel en commun, $I \cap J = \varnothing$ (l'ensemble vide), et $I \cup J$ ne peut pas s'écrire comme un seul intervalle : on le laisse sous la forme $[0;2] \cup [5;8]$.

Exemples

✅ Exemple simple — Écrire un intervalle

L'ensemble des réels $x$ tels que $-3 < x \leqslant 5$ s'écrit $]-3;5]$ (borne de gauche exclue, borne de droite incluse).

📘 Exemple intermédiaire — Intersection de deux intervalles

Soit $I = ]-\infty;4]$ et $J = [-2;+\infty[$. Alors $I \cap J = [-2;4]$ : ce sont les réels à la fois $\leqslant 4$ et $\geqslant -2$.

🔴 Exemple avancé — Réunion de deux intervalles disjoints

Soit $I = [1;3[$ et $J = ]3;6]$. Le réel $3$ n'appartient ni à $I$ ni à $J$ (il est exclu des deux côtés). Donc $I \cup J = [1;3[\,\cup\,]3;6]$, qui n'est pas un intervalle unique car le point $3$ « manque » : on ne peut pas le simplifier en $[1;6]$.

À retenir

- Un crochet fermé ($[$ ou $]$ tourné vers l'intérieur) signifie que la borne est incluse.
- Un crochet ouvert signifie que la borne est exclue ; les bornes infinies sont toujours notées avec un crochet ouvert.
- $I \cap J$ : ce qui est commun aux deux intervalles. $I \cup J$ : ce qui appartient à l'un ou l'autre.
- Toujours représenter les intervalles sur une droite numérique pour visualiser une union ou une intersection.