Calcul avec racines carrées et puissances

Règles de calcul sur les racines carrées

Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ \ (b \neq 0)

Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général ! Par exemple $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4=7$ .

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier $\sqrt{75}$ , on cherche le plus grand carré parfait qui divise $75$ :

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}

Rendre un dénominateur rationnel

\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Règles de calcul sur les puissances

Pour $a \neq 0$ , $b\neq 0$ et $n, p$ entiers relatifs :

a^n \times a^p = a^{n+p} \qquad \dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p} \qquad (a^n)^p = a^{n \times p}

(a \times b)^n = a^n \times b^n \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1

Exemple : $\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^6} = 2^{5+3-6} = 2^2 = 4$

Identités remarquables

Trois égalités fondamentales, valables pour tous réels $a$ et $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Ces identités permettent de développer une expression factorisée, ou inversement de factoriser une expression développée.

Exemple (développer) : $(x+3)^2 = x^2 + 2\times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Exemple (factoriser) : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$

Exercices de la leçon

Exercice 1

Simplifie $\sqrt{48}$ .

Corrigé

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16}\times\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ . $16$ est le plus grand carré parfait divisant $48$ .

Exercice 2

Que vaut $3^{-2}$ ?

Corrigé

$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ .

Exercice 3

$\sqrt{a+b}$ est toujours égal à $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

Corrigé

C'est une erreur fréquente. Par exemple $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ alors que $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ . La racine carrée n'est pas additive.

Exercice 4

Développe $(x-5)^2$ .

Corrigé

On applique $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ , $b=5$ : $x^2 - 2\times x \times 5 + 5^2 = x^2-10x+25$ .

Exercice 5

Simplifie l'écriture $A = \sqrt{20} + 3\sqrt{5} - \sqrt{45}$ pour obtenir un résultat de la forme $k\sqrt{5}$ .

Corrigé

On factorise chaque terme par le plus grand carré parfait possible pour obtenir un facteur commun $\sqrt{5}$ , puis on additionne les coefficients comme pour des termes semblables.

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