Distance d'un point à un plan

### Formule de la distance

> Théorème :
> Soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et $M_0(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ un point de l'espace. La distance du point $M_0$ au plan $\mathcal{P}$ est :
>

d(M_0,\mathcal{P}) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Cette distance correspond à la plus courte distance entre $M_0$ et un point quelconque du plan $\mathcal{P}$ .

Exemple : calculons la distance du point $M_0(1\,;\,2\,;\,-3)$ au plan $\mathcal{P}: 2x-y+2z+5=0$ .

On a $a=2$ , $b=-1$ , $c=2$ , $d=5$ et $(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)=(1\,;\,2\,;\,-3)$ :

d(M_0,\mathcal{P}) = \dfrac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times(-3) + 5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|2-2-6+5|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}

### Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M_0$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M_0$ : c'est l'unique point de $\mathcal{P}$ tel que $\overrightarrow{M_0H}$ soit orthogonal à $\mathcal{P}$ (donc colinéaire à un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$ ), et on a alors $d(M_0,\mathcal{P}) = M_0H$ .

> Méthode pour déterminer $H$ , projeté orthogonal de $M_0$ sur $\mathcal{P}$ :
> 1. Écrire une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $M_0$ et de vecteur directeur $\vec{n}$ (le vecteur normal de $\mathcal{P}$ ) ;
> 2. $H$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ : on substitue les coordonnées paramétriques de $\mathcal{D}$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ pour trouver la valeur du paramètre, puis on en déduit les coordonnées de $H$ .

Exemple : déterminons le projeté orthogonal $H$ de $A(1\,;\,1\,;\,1)$ sur le plan $\mathcal{P}: x+y+z-6=0$ (vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ).

La droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{n}$ a pour représentation paramétrique :

\begin{cases} x = 1+t \\ y = 1+t \\ z = 1+t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}

On substitue dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

(1+t)+(1+t)+(1+t)-6=0 \iff 3t-3=0 \iff t=1

D'où $H(1+1\,;\,1+1\,;\,1+1) = H(2\,;\,2\,;\,2)$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la distance du point $O(0\,;\,0\,;\,0)$ au plan d'équation $x+2y+2z-9=0$ ?

Corrigé

On applique la formule : $d(O,\mathcal{P}) = \dfrac{|1\times0+2\times0+2\times0-9|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{9}} = \dfrac{9}{3} = 3$ .

Exercice 2

Le point $M_0(2\,;\,1\,;\,3)$ appartient au plan d'équation $x-y+z-4=0$ , donc sa distance à ce plan est nulle.

Corrigé

On vérifie : $2-1+3-4=0$ , donc $M_0\in\mathcal{P}$ . Dans la formule, le numérateur $|ax_0+by_0+cz_0+d|$ vaut alors $0$ , donc la distance est bien $0$ : un point du plan est à distance nulle de ce plan.

Exercice 3

Quelle est la distance du point $A(1\,;\,-2\,;\,2)$ au plan $\mathcal{P}: 3x+4y-5=0$ ?

Corrigé

Ici $a=3$ , $b=4$ , $c=0$ , $d=-5$ (la variable $z$ n'apparaît pas, son coefficient est $0$ ). $d(A,\mathcal{P}) = \dfrac{|3\times1+4\times(-2)+0\times2-5|}{\sqrt{3^2+4^2+0^2}} = \dfrac{|3-8-5|}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2$ .

Exercice 4

Calculer la distance du point $M_0(3\,;\,0\,;\,-1)$ au plan $\mathcal{P}: 2x-2y+z+1=0$ .

Corrigé

On applique directement la formule de la distance avec $a=2$ , $b=-2$ , $c=1$ , $d=1$ .

Exercice 5

On considère le plan $\mathcal{P}: x-2y+2z-3=0$ et le point $A(4\,;\,-1\,;\,5)$ . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ , puis vérifier que $AH$ est égal à la distance de $A$ à $\mathcal{P}$ calculée par la formule.

Corrigé

On écrit la représentation paramétrique de la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ , on substitue dans l'équation du plan pour trouver $H$ , puis on calcule $AH$ et on compare avec la formule de la distance.

AlphaMath Académie · Distance d'un point à un plan · Orthogonalité et distances dans l'espace