Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace

Le produit scalaire, déjà connu dans le plan, se prolonge naturellement à l'espace. C'est l'outil central pour étudier l'orthogonalité en 3D.

### Définition avec les coordonnées

Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le nombre réel :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'

Exemple : avec $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times 1 + (-1)\times 4 + 3\times(-2) = 2 - 4 - 6 = -8

### Définition géométrique

On peut aussi exprimer le produit scalaire à l'aide des normes et de l'angle géométrique formé par les deux vecteurs :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\|\times\|\overrightarrow{v}\|\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})

Cette formule reste valable dans l'espace, car deux vecteurs non nuls définissent toujours un plan dans lequel on peut mesurer leur angle.

> Théorème (caractérisation de l'orthogonalité) :
> Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
>

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0

En effet, si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et orthogonaux, alors $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 90°$ donc $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 0$ , d'où $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$ . La réciproque se démontre de la même façon.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ : on calcule $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times4 + 2\times1 - 3\times2 = 4+2-6 = 0$ . Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux.

### Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ de l'espace et tout réel $k$ :

> - Symétrie : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$
> - Bilinéarité : $\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}\cdot(k\overrightarrow{v}) = k(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
> - $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$

Ces propriétés, identiques à celles vues dans le plan, permettent de développer des expressions comme $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

On donne $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Que vaut $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ ?

Corrigé

On calcule $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 3\times(-1) + (-2)\times4 + 1\times2 = -3 -8 + 2 = -9$ .

Exercice 2

Les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.

Corrigé

On calcule $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times1 + 1\times(-3) + (-1)\times(-1) = 2 - 3 + 1 = 0$ . Le produit scalaire est nul donc les vecteurs sont bien orthogonaux.

Exercice 3

Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} m \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?

Corrigé

On veut $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$ , soit $3m - 2 - 4 = 0$ , donc $3m = 6$ , soit $m=2$ .

Exercice 4

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$ , $B(3\,;\,1\,;\,1)$ et $C(2\,;\,0\,;\,4)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Corrigé

Il faut calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis montrer que leur produit scalaire est nul.

Exercice 5

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\|\overrightarrow{u}\|=3$ , $\|\overrightarrow{v}\|=5$ et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=120°$ . Calculer $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ , puis $\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|$ .

Corrigé

On utilise la formule géométrique du produit scalaire, puis on développe $\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 = (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ à l'aide de la bilinéarité.

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