Vecteur normal et équation de plan

Vecteur normal à un plan

### Définition

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ .

On peut montrer que, dans ce cas, $\vec{n}$ est en fait orthogonal à tous les vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$ , donc à toute droite incluse dans $\mathcal{P}$ .

### Lien avec l'équation cartésienne d'un plan

> Théorème :
> Le plan $\mathcal{P}$ passant par un point $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ (avec $(a\,;\,b\,;\,c)\neq(0\,;\,0\,;\,0)$ ) est l'ensemble des points $M(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ , ce qui équivaut à une équation de la forme :
>

ax+by+cz+d=0

> où

d=-(ax_A+by_A+cz_A)

Réciproquement, tout plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ admet le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Exemple : déterminons l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Pour $M(x\,;\,y\,;\,z)\in\mathcal{P}$ , on a $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ :

3(x-1) - 1(y-2) + 2(z+1) = 0

3x - 3 - y + 2 + 2z + 2 = 0

3x - y + 2z + 1 = 0

Le plan $\mathcal{P}$ a donc pour équation cartésienne $3x-y+2z+1=0$ .

### Orthogonalité d'une droite et d'un plan

> Théorème :
> Une droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Exemple : la droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}: 3x-y+2z+1=0$ ?

Le vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ . On remarque que $\overrightarrow{u} = 2\vec{n}$ , donc $\overrightarrow{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires : la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le plan d'équation $2x+5y-3z+4=0$ admet comme vecteur normal :

Corrigé

Dans une équation $ax+by+cz+d=0$ , le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ formé des coefficients de $x$ , $y$ , $z$ est normal au plan. Ici $a=2$ , $b=5$ , $c=-3$ .

Exercice 2

La droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ est orthogonale au plan d'équation $x+2y-z+5=0$ .

Corrigé

Le vecteur normal du plan est $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ , qui est exactement égal à $\overrightarrow{u}$ : les deux vecteurs sont colinéaires, donc la droite est orthogonale au plan.

Exercice 3

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(2\,;\,-1\,;\,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

Corrigé

On utilise la condition $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ pour un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ quelconque du plan.

Exercice 4

On considère le plan $\mathcal{P}$ défini par le point $A(0\,;\,1\,;\,2)$ et les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Lequel des vecteurs suivants est normal à $\mathcal{P}$ ?

Corrigé

Il faut vérifier que $\vec{n}\cdot\overrightarrow{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$ . Pour $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ : $\vec{n}\cdot\overrightarrow{u}=1-1+0=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{v}=0-1+1=0$ . Les deux produits scalaires sont nuls, donc $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ .

Exercice 5

Soit $\mathcal{P}$ le plan défini par le point $A(1\,;\,0\,;\,1)$ et les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur normal à $\mathcal{P}$ , puis une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ .

Corrigé

On cherche $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ vérifiant $\vec{n}\cdot\overrightarrow{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$ , en résolvant un système à une inconnue libre, puis on utilise $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ .

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