Division euclidienne et factorisation

Dans la division euclidienne $A = BQ+R$, quelle condition doit vérifier $R$ ?

Par définition de la division euclidienne, le reste $R$ doit vérifier $\deg R < \deg B$ (et $R$ peut être nul).

Quel est le reste de la division euclidienne de $P(X)=X^3-2X+5$ par $(X-1)$ ?

Le reste de la division par $(X-a)$ est toujours $P(a)$. Ici $P(1) = 1-2+5 = 4$.

Pour $P(X) = X^2-7X+10$, quelle est la somme des racines ?

Pour $aX^2+bX+c$, la somme des racines vaut $-b/a$. Ici $a=1, b=-7$, donc $r_1+r_2 = -(-7)/1 = 7$.

Vrai ou faux : un polynôme de degré $2$ à discriminant strictement négatif est irréductible sur $\mathbb{R}$.

Vrai. Un polynôme de degré 2 sans racine réelle (donc $\Delta<0$) ne peut pas se factoriser en deux facteurs de degré 1 réels, donc il est irréductible sur $\mathbb{R}$.

Quel est le produit des racines de $P(X) = 2X^2+3X-5$ ?

Le produit des racines vaut $c/a = -5/2$.

Effectuer la division euclidienne de $A(X)=X^4+X^3-3X^2-4X-1$ par $B(X)=X^2+X-2$. Quel est le quotient ?

En posant la division : $X^4\div X^2=X^2$, reste partiel $X^4+X^3-3X^2-4X-1-X^2(X^2+X-2)=-X^2-4X-1$, puis $-X^2\div X^2=-1$, reste $-X^2-4X-1-(-1)(X^2+X-2)=-3X-3$, de degré $<2$. Donc $Q(X)=X^2-1$ et $R(X)=-3X-3$.

Avec les données de l'exercice précédent (division de $X^4+X^3-3X^2-4X-1$ par $X^2+X-2$), quel est le reste ?

D'après le calcul de la division, $R(X) = -3X-3$, de degré $1 < \deg B = 2$. On vérifie : $(X^2-1)(X^2+X-2) + (-3X-3) = X^4+X^3-3X^2-4X-1$.

Soit $P(X)=X^3-6X^2+11X-6$, sachant que $1$, $2$, $3$ sont ses racines. Vérifier la formule de Viète pour $\sigma_2$ (somme des produits deux à deux).

$\sigma_2 = r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = 1\times2+1\times3+2\times3 = 2+3+6=11$. La formule de Viète donne $\sigma_2 = (-1)^2 a_{1}/a_3 = 11/1=11$ ✓ (coefficient de $X$ dans $P$ est $11$).

Vrai ou faux : tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair admet au moins une racine réelle.

Vrai. Les racines complexes non réelles d'un polynôme réel viennent par paires conjuguées, donc en nombre pair. Comme le degré (impair) est la somme du nombre de racines réelles et du nombre de racines complexes non réelles (pair), le nombre de racines réelles est nécessairement impair, donc au moins $1$.

Le polynôme $X^2+4$ est-il irréductible sur $\mathbb{R}$ ? Et sur $\mathbb{C}$ ?

$X^2+4$ a pour discriminant $\Delta=-16<0$ : pas de racine réelle, donc irréductible sur $\mathbb{R}$ (degré 2 sans racine réelle). Mais sur $\mathbb{C}$, il se factorise : $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$, donc réductible sur $\mathbb{C}$ (tout polynôme de degré $\geq 2$ est réductible sur $\mathbb{C}$, qui est algébriquement clos).

Démontrer le théorème de la division euclidienne par $(X-a)$ : montrer que le reste de la division de $P$ par $(X-a)$ vaut $P(a)$.

Démonstration. Par le théorème de la division euclidienne, il existe $Q$ et $R$ tels que $P = (X-a)Q + R$ avec $\deg R < \deg(X-a) = 1$. Donc $R$ est un polynôme constant, $R = c$ pour un certain $c \in \mathbb{K}$.

On évalue cette égalité en $X=a$ :

Donc $R = P(a)$, ce qui est le résultat annoncé. $\blacksquare$

Factoriser sur $\mathbb{R}$ le polynôme $P(X) = X^4-1$.

$X^4-1 = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$. Le facteur $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ (discriminant $-4<0$), donc cette factorisation est complète sur $\mathbb{R}$. (L'option D est la factorisation sur $\mathbb{C}$, pas sur $\mathbb{R}$.)

Vrai ou faux : si $P\in\mathbb{C}[X]$ est de degré $n$, alors $P$ admet exactement $n$ racines complexes comptées avec multiplicité.

Vrai, c'est une conséquence directe du théorème de d'Alembert-Gauss : $\mathbb{C}$ étant algébriquement clos, $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$, donc s'écrit $a_n\prod_{i=1}^n(X-z_i)$, ce qui donne exactement $n$ racines comptées avec multiplicité.

Soit $P(X)=X^3+pX+q$ ($\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de racines $r_1,r_2,r_3$. Exprimer $r_1^2+r_2^2+r_3^2$ en fonction de $p$ et $q$.

Solution. Le polynôme $P(X)=X^3+0\cdot X^2+pX+q$ a pour coefficients $a_3=1$, $a_2=0$, $a_1=p$, $a_0=q$.

Les formules de Viète donnent : $\sigma_1 = r_1+r_2+r_3 = -a_2/a_3 = 0$ et $\sigma_2 = r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = a_1/a_3 = p$.

On utilise l'identité algébrique : $r_1^2+r_2^2+r_3^2 = (r_1+r_2+r_3)^2 - 2(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3) = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

En substituant : $r_1^2+r_2^2+r_3^2 = 0^2 - 2p = -2p$. $\blacksquare$

Le polynôme $P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1$ a une unique racine. Quelle est sa multiplicité ?

On reconnaît l'identité remarquable $P(X) = (X-1)^3 = X^3-3X^2+3X-1$. La racine $1$ est donc de multiplicité $3$, ce qui sature le degré du polynôme (cohérent avec d'Alembert-Gauss : $3$ racines comptées avec multiplicité).