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Licence 1 · Polynômes et fractions rationnelles

Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

### 1. Définition d'une fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes $A, B \in \mathbb{K}[X]$ avec $B \neq 0$ :

F(X) = \frac{A(X)}{B(X)}

L'ensemble des fractions rationnelles est noté $\mathbb{K}(X)$ . On suppose toujours $F$ écrite sous forme irréductible, c'est-à-dire que $A$ et $B$ n'ont aucune racine commune (sinon on simplifie par les facteurs communs).

### 2. Pôles d'une fraction rationnelle

Définition. Un pôle de $F = A/B$ (sous forme irréductible) est une racine $a$ du dénominateur $B$ . L'ordre du pôle $a$ est la multiplicité de $a$ comme racine de $B$ .

Un pôle d'ordre $1$ est dit simple, d'ordre $2$ double, etc. Le domaine de définition de $F$ est $\mathbb{K}$ privé de ses pôles.

Exemple. $F(X) = \dfrac{X+1}{(X-2)(X+3)^2}$ a un pôle simple en $2$ et un pôle double en $-3$ .

### 3. Partie entière (division euclidienne)

Si $\deg A \geq \deg B$ , on effectue la division euclidienne $A = BQ+R$ avec $\deg R < \deg B$ , ce qui donne :

F(X) = \frac{A(X)}{B(X)} = Q(X) + \frac{R(X)}{B(X)}

$Q$ est la partie entière de $F$ , et $R/B$ est une fraction rationnelle dont le numérateur est de degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Si $\deg A < \deg B$ , la partie entière est nulle.

Exemple. $F(X) = \dfrac{X^3+1}{X^2-1}$ . La division de $X^3+1$ par $X^2-1$ donne quotient $X$ et reste $X+1$ (en effet $X(X^2-1)=X^3-X$ , et $X^3+1-(X^3-X)=X+1$ ). Donc :

F(X) = X + \frac{X+1}{X^2-1} = X + \frac{X+1}{(X-1)(X+1)} = X + \frac{1}{X-1}

en simplifiant le facteur commun

(X+1)

au numérateur et au dénominateur de la fraction restante.

### 4. Théorème de décomposition en éléments simples (cas réel)

Théorème. Toute fraction rationnelle $F=A/B \in \mathbb{R}(X)$ irréductible, avec $B$ factorisé en facteurs irréductibles réels :

B(X) = \prod_i (X-a_i)^{k_i} \cdot \prod_j (X^2+b_jX+c_j)^{m_j}

se décompose de manière unique sous la forme :

F(X) = Q(X) + \sum_i \sum_{\ell=1}^{k_i} \frac{\alpha_{i,\ell}}{(X-a_i)^\ell} + \sum_j \sum_{\ell=1}^{m_j} \frac{\beta_{j,\ell} X + \gamma_{j,\ell}}{(X^2+b_jX+c_j)^\ell}

où

Q

est la partie entière,

\alpha_{i,\ell} \in \mathbb{R}

(\beta_{j,\ell},\gamma_{j,\ell}) \in \mathbb{R}^2

Dans ce cours, on se concentre sur le cas où tous les pôles sont réels (les facteurs de degré $2$ irréductibles ne sont pas traités en détail).

### 5. Cas des pôles simples : méthode de substitution

Si $a$ est un pôle simple de $F=A/B$ , le coefficient $\alpha$ associé au terme $\dfrac{\alpha}{X-a}$ se calcule par :

\alpha = \frac{A(a)}{B'(a)} \qquad \text{ou de façon équivalente} \qquad \alpha = \lim_{X\to a} (X-a)F(X)

C'est la méthode de substitution (multiplier par $(X-a)$ puis évaluer en $a$ , après avoir simplifié le facteur $(X-a)$ au dénominateur).

### 6. Exemple résolu : pôles simples par substitution

Énoncé. Décomposer $F(X) = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ en éléments simples sur $\mathbb{R}$ .

Solution. $\deg(\text{numérateur}) = 1 < 2 = \deg(\text{dénominateur})$ , donc pas de partie entière. On pose :

F(X) = \frac{\alpha}{X-1} + \frac{\beta}{X+2}

Calcul de $\alpha$ : on multiplie par $(X-1)$ et on évalue en $X=1$ :

\alpha = \left.\frac{3X+5}{X+2}\right|_{X=1} = \frac{8}{3}

Calcul de $\beta$ : on multiplie par $(X+2)$ et on évalue en $X=-2$ :

\beta = \left.\frac{3X+5}{X-1}\right|_{X=-2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}

Donc :

F(X) = \frac{8/3}{X-1} + \frac{1/3}{X+2} = \frac{8}{3(X-1)} + \frac{1}{3(X+2)}

Vérification. En réduisant au même dénominateur : $\dfrac{8(X+2)+1(X-1)}{3(X-1)(X+2)} = \dfrac{9X+15}{3(X-1)(X+2)} = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ ✓

### 7. Méthode des coefficients indéterminés (avec pôle multiple)

Quand un pôle est multiple, la substitution seule ne donne pas tous les coefficients : on combine substitution et identification.

Exemple résolu. Décomposer $F(X) = \dfrac{4X-2}{(X+1)^2(X-2)}$ .

On pose $F(X) = \dfrac{\alpha}{X+1} + \dfrac{\beta}{(X+1)^2} + \dfrac{\gamma}{X-2}$ .

$\beta$ par substitution (pôle double, on multiplie par $(X+1)^2$ et on évalue en $-1$ ) : $\beta = \dfrac{4(-1)-2}{-1-2} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ .

$\gamma$ par substitution (multiplier par $(X-2)$ , évaluer en $2$ ) : $\gamma = \dfrac{4(2)-2}{(2+1)^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

$\alpha$ par identification : on utilise une valeur particulière, par exemple $X=0$ :

F(0) = \frac{-2}{1\times(-2)} = 1 = \alpha + \beta\cdot 1 + \frac{\gamma}{-2} = \alpha + 2 - \frac{1}{3}

donc

\alpha = 1 - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}

Finalement : $F(X) = \dfrac{-2/3}{X+1} + \dfrac{2}{(X+1)^2} + \dfrac{2/3}{X-2}$ .

### 8. Méthode pratique : résumé des étapes

1. Vérifier que $F=A/B$ est irréductible (sinon simplifier).
2. Si $\deg A \geq \deg B$ , extraire la partie entière par division euclidienne.
3. Factoriser le dénominateur en facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$ .
4. Écrire la forme générale de la décomposition (un terme par puissance de chaque facteur).
5. Calculer les coefficients des pôles simples par substitution ; pour les pôles multiples, combiner substitution (puissance la plus haute) et identification (valeurs particulières ou comparaison des coefficients) pour les autres.
6. Vérifier en réduisant au même dénominateur.

### 9. Synthèse

| Notion | Définition / formule |
|---|---|
| Pôle d'ordre $k$ | racine d'ordre $k$ du dénominateur (irréductible) |
| Partie entière | quotient de la division euclidienne $A$ par $B$ |
| Pôle simple $a$ | coefficient $\alpha = A(a)/B'(a)$ |
| Décomposition (réel) | somme de termes $\dfrac{\alpha}{(X-a)^\ell}$ et $\dfrac{\beta X+\gamma}{(X^2+bX+c)^\ell}$ |

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quels sont les pôles de $F(X) = \dfrac{X+1}{(X-2)(X+5)}$ ?

Corrigé

Les pôles sont les racines du dénominateur $(X-2)(X+5)$ , à savoir $2$ et $-5$ . La racine $-1$ du numérateur n'est pas un pôle (elle annule $F$ , ce n'est pas un point hors du domaine).

Exercice 2

La fraction $F(X) = \dfrac{1}{(X-3)^2}$ a un pôle en $3$ . Quel est son ordre ?

Corrigé

L'ordre du pôle est la multiplicité de la racine au dénominateur. Ici $(X-3)^2$ donne une racine $3$ de multiplicité $2$ : pôle double.

Exercice 3

$F(X) = \dfrac{X^2+1}{X-1}$ . A-t-elle une partie entière non nulle ?

Corrigé

Le numérateur est de degré $2$ , le dénominateur de degré $1$ : $2 \geq 1$ , donc il y a bien une partie entière (un quotient de division euclidienne non nul).

Exercice 4

Vrai ou faux : pour calculer le coefficient d'un pôle simple $a$ par substitution, on utilise $\alpha = \lim_{X\to a}(X-a)F(X)$ .

Corrigé

Vrai. Multiplier $F$ par $(X-a)$ élimine le pôle en $a$ dans le terme correspondant, et tous les autres termes de la décomposition s'annulent en $X=a$ (ou restent finis), donc évaluer en $a$ donne directement $\alpha$ .

Exercice 5

On décompose $F(X) = \dfrac{A}{(X-1)(X+1)}$ en $\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{X+1}$ . Combien de coefficients inconnus faut-il déterminer ?

Corrigé

Il y a deux pôles simples, donc deux coefficients $\alpha$ et $\beta$ à déterminer.

Exercice 6

Décomposer $F(X) = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ en éléments simples. Quel est le coefficient associé au pôle $X=1$ ?

Corrigé

Par substitution : $\alpha = \left.\dfrac{3X+5}{X+2}\right|_{X=1} = \dfrac{3+5}{1+2} = \dfrac{8}{3}$ .

Exercice 7

Pour la même fraction $F(X) = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ , quel est le coefficient associé au pôle $X=-2$ ?

Corrigé

Par substitution : $\beta = \left.\dfrac{3X+5}{X-1}\right|_{X=-2} = \dfrac{-6+5}{-2-1} = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3}$ .

Exercice 8

Calculer la partie entière de $F(X) = \dfrac{X^3+1}{X^2-1}$ .

Corrigé

La division euclidienne de $X^3+1$ par $X^2-1$ donne $X^3+1 = X(X^2-1) + (X+1)$ (on vérifie : $X(X^2-1)=X^3-X$ , et $X^3+1-(X^3-X)=X+1$ ). Le quotient, donc la partie entière, est $X$ .

Exercice 9

Simplifier $F(X) = \dfrac{X^3+1}{X^2-1}$ sous la forme partie entière + élément simple.

Corrigé

D'après l'exercice précédent, $F(X)=X+\dfrac{X+1}{X^2-1}$ . Comme $X^2-1=(X-1)(X+1)$ , on simplifie le facteur commun $(X+1)$ au numérateur et au dénominateur : $\dfrac{X+1}{(X-1)(X+1)}=\dfrac{1}{X-1}$ . Donc $F(X)=X+\dfrac{1}{X-1}$ .

Exercice 10

Vrai ou faux : la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle réelle donnée est unique.

Corrigé

Vrai, c'est le contenu du théorème de décomposition en éléments simples : pour une fraction irréductible donnée, la partie entière et tous les coefficients des éléments simples sont uniquement déterminés.

Exercice 11

Décomposer en éléments simples $F(X) = \dfrac{2X^2+3X-1}{(X-1)(X+1)(X+2)}$ et donner les trois coefficients (justifier par substitution).

Corrigé

Solution. On pose $F(X) = \dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{X+1}+\dfrac{\gamma}{X+2}$ .

Coefficient $\alpha$ (pôle $1$ ) : $\alpha = \left.\dfrac{2X^2+3X-1}{(X+1)(X+2)}\right|_{X=1} = \dfrac{2+3-1}{2\times 3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .

Coefficient $\beta$ (pôle $-1$ ) : $\beta = \left.\dfrac{2X^2+3X-1}{(X-1)(X+2)}\right|_{X=-1} = \dfrac{2-3-1}{(-2)(1)} = \dfrac{-2}{-2} = 1$ .

Coefficient $\gamma$ (pôle $-2$ ) : $\gamma = \left.\dfrac{2X^2+3X-1}{(X-1)(X+1)}\right|_{X=-2} = \dfrac{8-6-1}{(-3)(-1)} = \dfrac{1}{3}$ .

Donc $F(X) = \dfrac{2/3}{X-1}+\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1/3}{X+2}$ . $\blacksquare$

Exercice 12

Pour $F(X) = \dfrac{4X-2}{(X+1)^2(X-2)}$ , le coefficient du terme $\dfrac{\beta}{(X+1)^2}$ (pôle double, puissance maximale) vaut :

Corrigé

On multiplie par $(X+1)^2$ et on évalue en $X=-1$ : $\beta = \left.\dfrac{4X-2}{X-2}\right|_{X=-1} = \dfrac{-4-2}{-1-2} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ .

Exercice 13

Toujours pour $F(X) = \dfrac{4X-2}{(X+1)^2(X-2)} = \dfrac{\alpha}{X+1}+\dfrac{2}{(X+1)^2}+\dfrac{\gamma}{X-2}$ , quelle est la valeur de $\gamma$ ?

Corrigé

On multiplie par $(X-2)$ et on évalue en $X=2$ : $\gamma = \left.\dfrac{4X-2}{(X+1)^2}\right|_{X=2} = \dfrac{8-2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

Exercice 14

Pour la même fraction, déterminer $\alpha$ en utilisant la valeur en $X=0$ : $F(0) = 1$ .

Corrigé

Solution. On a établi $\beta = 2$ et $\gamma = \dfrac{2}{3}$ . On évalue la décomposition en $X=0$ :

F(0) = \frac{\alpha}{1} + \frac{2}{1} + \frac{2/3}{-2} = \alpha + 2 - \frac{1}{3}

Or directement,

F(0) = \dfrac{4(0)-2}{(0+1)^2(0-2)} = \dfrac{-2}{-2} = 1

On résout : $1 = \alpha + 2 - \dfrac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 1 - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}$ .

Donc $F(X) = \dfrac{-2/3}{X+1} + \dfrac{2}{(X+1)^2} + \dfrac{2/3}{X-2}$ . $\blacksquare$

Exercice 15

Quelle est la décomposition en éléments simples de $F(X) = \dfrac{5X-1}{X^2-1}$ ?

Corrigé

On écrit $\dfrac{5X-1}{(X-1)(X+1)} = \dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{X+1}$ . Par substitution : $\alpha = \left.\dfrac{5X-1}{X+1}\right|_{X=1} = \dfrac{4}{2}=2$ , et $\beta = \left.\dfrac{5X-1}{X-1}\right|_{X=-1} = \dfrac{-6}{-2}=3$ . Donc $F(X)=\dfrac{2}{X-1}+\dfrac{3}{X+1}$ , soit $\dfrac{3}{X+1}+\dfrac{2}{X-1}$ (option A).

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