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Licence 1 · Polynômes et fractions rationnelles

Opérations, degré et racines

Polynômes : opérations, degré et racines

### 1. Définition d'un polynôme

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . Un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une expression de la forme :

P(X) = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0, \qquad a_i \in \mathbb{K}

L'ensemble de ces polynômes est noté $\mathbb{K}[X]$ . Les $a_i$ sont les coefficients de $P$ , et $X$ est une indéterminée (un symbole formel, pas une variable réelle).

Si $a_n \neq 0$ , on dit que $P$ est de degré $n$ , noté $\deg P = n$ . Le terme $a_n X^n$ est le terme dominant et $a_n$ le coefficient dominant. Par convention, le polynôme nul a pour degré $\deg 0 = -\infty$ .

Un polynôme est unitaire (ou monique) si son coefficient dominant vaut $1$ .

### 2. Opérations sur les polynômes

Somme. Si $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i$ et $Q = \sum_{i=0}^n b_i X^i$ (en complétant par des coefficients nuls si nécessaire), alors :

P + Q = \sum_{i=0}^{n} (a_i+b_i) X^i

Produit. Si $P$ est de degré $n$ et $Q$ de degré $m$ :

PQ = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k, \qquad c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j

Règles sur les degrés (pour $P, Q \neq 0$ ) :

\deg(PQ) = \deg P + \deg Q \qquad \deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)

avec égalité dans la seconde formule sauf si $\deg P = \deg Q$ et que les termes dominants s'annulent.

Exemple résolu. Soient $A = 2X^3+1$ et $B = X^2 - X$ . Alors $\deg A = 3$ , $\deg B = 2$ , et :

AB = (2X^3+1)(X^2-X) = 2X^5 - 2X^4 + X^2 - X

On vérifie

\deg(AB) = 5 = 3+2

, conforme à la règle.

### 3. Fonction polynomiale et valeur en un point

À tout polynôme $P = \sum a_i X^i$ , on associe la fonction polynomiale $x \mapsto P(x) = \sum a_i x^i$ , en substituant à $X$ un élément $x \in \mathbb{K}$ . C'est cette évaluation qui permet de parler de « racine » d'un polynôme.

### 4. Racines d'un polynôme

Définition. Un élément $a \in \mathbb{K}$ est une racine (ou un zéro) de $P$ si $P(a) = 0$ .

Théorème (racine et factorisation). Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$ . Alors :

a \text{ est racine de } P \iff (X-a) \text{ divise } P

Démonstration. ( $\Leftarrow$ ) Si $(X-a) \mid P$ , on écrit $P = (X-a)Q$ pour un certain $Q \in \mathbb{K}[X]$ . Alors $P(a) = (a-a)Q(a) = 0$ .

( $\Rightarrow$ ) Si $P(a) = 0$ , on effectue la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ (cf. leçon suivante) : $P = (X-a)Q + r$ où $r$ est une constante (degré $< 1$ ). En évaluant en $a$ : $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r$ , donc $r = P(a) = 0$ . Ainsi $P = (X-a)Q$ , c'est-à-dire $(X-a) \mid P$ . $\blacksquare$

### 5. Multiplicité d'une racine

Définition. $a$ est une racine de multiplicité $k \geq 1$ de $P$ si $(X-a)^k \mid P$ mais $(X-a)^{k+1} \nmid P$ , c'est-à-dire :

P = (X-a)^k Q, \qquad Q(a) \neq 0

Une racine de multiplicité $1$ est dite simple, de multiplicité $2$ double, etc.

Caractérisation par les dérivées. $a$ est racine de multiplicité $\geq k$ de $P$ si et seulement si :

P(a) = P'(a) = P''(a) = \cdots = P^{(k-1)}(a) = 0

En particulier, $a$ est racine multiple (multiplicité $\geq 2$ ) si et seulement si $P(a) = 0$ et $P'(a) = 0$ .

### 6. Exemple résolu : détermination de la multiplicité

Énoncé. Étudier les racines de $P(X) = X^3 - 3X^2 + 4$ .

Solution. On teste $a=2$ : $P(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ , donc $2$ est racine.

On calcule $P'(X) = 3X^2 - 6X$ , donc $P'(2) = 12 - 12 = 0$ : la racine $2$ est (au moins) double.

On calcule $P''(X) = 6X - 6$ , donc $P''(2) = 6 \neq 0$ : la multiplicité de $2$ est exactement $2$ .

On en déduit $P(X) = (X-2)^2 Q(X)$ avec $Q$ de degré $1$ . En effectuant la division (ou par identification), $Q(X) = X+1$ . On vérifie :

(X-2)^2(X+1) = (X^2-4X+4)(X+1) = X^3 - 3X^2 + 4

Donc

P(X) = (X-2)^2(X+1)

, avec racine double

2

et racine simple

-1

### 7. Nombre de racines et théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème. Un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$ , en comptant chaque racine avec sa multiplicité.

Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$ . Par récurrence, un polynôme de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ , comptées avec multiplicité.

Ce théorème sera développé dans la leçon suivante sur la factorisation.

### 8. Synthèse

| Notion | Définition |
|---|---|
| Degré | Plus grand exposant à coefficient non nul |
| Racine | $a$ tel que $P(a)=0$ |
| Lien racine/facteur | $P(a)=0 \iff (X-a) \mid P$ |
| Multiplicité $k$ | $(X-a)^k \mid P$ et $(X-a)^{k+1} \nmid P$ |
| Critère de multiplicité | $P(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq 0$ |

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quel est le degré du polynôme $P(X) = 5X^4 - 3X^2 + 7$ ?

Corrigé

Le degré est l'exposant le plus élevé dont le coefficient est non nul. Ici le terme dominant est $5X^4$ , donc $\deg P = 4$ .

Exercice 2

Soit $P(X) = X^2 - 3X + 2$ . Quelle affirmation est correcte ?

Corrigé

$P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , donc $1$ est bien racine de $P$ . (On a aussi $P(2)=4-6+2=0$ , donc $P(X)=(X-1)(X-2)$ .)

Exercice 3

Si $\deg A = 3$ et $\deg B = 5$ , quel est $\deg(AB)$ ?

Corrigé

Pour des polynômes non nuls, $\deg(AB) = \deg A + \deg B = 3 + 5 = 8$ .

Exercice 4

Vrai ou faux : $\deg(P+Q)$ est toujours égal à $\max(\deg P, \deg Q)$ .

Corrigé

Faux. Si $\deg P = \deg Q$ et que les coefficients dominants sont opposés, ils peuvent s'annuler dans la somme. Par exemple $P=X^2+1$ , $Q=-X^2+X$ : $P+Q = X+1$ , de degré $1 < 2 = \max(\deg P,\deg Q)$ .

Exercice 5

Le polynôme $P(X) = (X-3)$ divise $Q(X) = X^2 - 9$ . Que peut-on en déduire ?

Corrigé

Par le théorème racine-facteur, $(X-3) \mid Q \iff Q(3) = 0$ . En effet $Q(3) = 9-9=0$ . (On a aussi $Q(X)=(X-3)(X+3)$ , donc $-3$ est aussi racine.)

Exercice 6

Quelle est la multiplicité de la racine $2$ dans $P(X) = (X-2)^3(X+1)^2$ ?

Corrigé

$P$ est déjà factorisé : l'exposant de $(X-2)$ donne directement la multiplicité de la racine $2$ , soit $3$ .

Exercice 7

Soit $P(X) = X^2 - 4X + 4$ . Quelle est la multiplicité de sa racine $2$ ?

Corrigé

$P(X) = X^2-4X+4 = (X-2)^2$ . On vérifie aussi par les dérivées : $P(2)=0$ , $P'(X)=2X-4$ donc $P'(2)=0$ , $P''(X)=2\neq 0$ : multiplicité exactement $2$ .

Exercice 8

Vrai ou faux : un polynôme de degré $4$ à coefficients réels peut n'avoir aucune racine réelle.

Corrigé

Vrai. Par exemple $P(X) = X^4+1$ n'a aucune racine réelle car $P(x) = x^4+1 \geq 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Ses racines sont complexes.

Exercice 9

On sait que $P(X) = X^3+1$ admet $-1$ comme racine. Quel polynôme $Q$ vérifie $P = (X+1)Q$ ?

Corrigé

On vérifie : $(X+1)(X^2-X+1) = X^3-X^2+X+X^2-X+1 = X^3+1$ . Donc $Q(X)=X^2-X+1$ (l'identité classique $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ avec $a=X$ , $b=1$ ).

Exercice 10

Combien de racines distinctes au maximum peut avoir un polynôme non nul de degré $7$ dans $\mathbb{R}$ ?

Corrigé

Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes (en comptant sans multiplicité, c'est aussi une borne). Ici $n=7$ .

Exercice 11

Démontrer que si $a$ est racine de $P$ et de $P'$ , alors $a$ est racine de multiplicité au moins $2$ de $P$ .

Corrigé

Démonstration. Comme $P(a)=0$ , on sait par le théorème racine-facteur que $(X-a) \mid P$ , donc $P = (X-a)R$ pour un polynôme $R$ .

On dérive : $P'(X) = R(X) + (X-a)R'(X)$ .

On évalue en $a$ : $P'(a) = R(a) + 0 = R(a)$ .

Or par hypothèse $P'(a) = 0$ , donc $R(a) = 0$ : $a$ est racine de $R$ .

Par le théorème racine-facteur appliqué à $R$ , on a $(X-a) \mid R$ , donc $R = (X-a)S$ pour un polynôme $S$ .

Finalement $P = (X-a)R = (X-a)^2 S$ , donc $(X-a)^2 \mid P$ : $a$ est racine de multiplicité au moins $2$ . $\blacksquare$

Exercice 12

Quelle est la multiplicité de la racine $1$ dans $P(X) = X^4 - X^3 - 3X^2 + 5X - 2$ ?

Corrigé

$P(1) = 1-1-3+5-2 = 0$ . $P'(X)=4X^3-3X^2-6X+5$ , $P'(1)=4-3-6+5=0$ . $P''(X)=12X^2-6X-6$ , $P''(1)=12-6-6=0$ . $P'''(X)=24X-6$ , $P'''(1)=18\neq 0$ . Donc la multiplicité est exactement $3$ : $P(X)=(X-1)^3(X+2)$ .

Exercice 13

Vrai ou faux : si $P \in \mathbb{R}[X]$ et $z \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ est racine de $P$ , alors $\bar{z}$ est aussi racine de $P$ .

Corrigé

Vrai. Si $P(X) = \sum a_i X^i$ avec $a_i \in \mathbb{R}$ , alors $\overline{P(z)} = \sum \overline{a_i}\,\overline{z}^i = \sum a_i \bar z^i = P(\bar z)$ car les $a_i$ sont réels. Si $P(z)=0$ alors $\overline{P(z)}=0$ , donc $P(\bar z)=0$ : $\bar z$ est aussi racine.

Exercice 14

Factoriser entièrement $P(X) = X^3 - 2X^2 - X + 2$ sur $\mathbb{R}$ , sachant que $1$ est racine.

Corrigé

Solution. On vérifie $P(1) = 1-2-1+2 = 0$ , donc $1$ est racine et $(X-1) \mid P$ .

On effectue la division euclidienne de $P$ par $(X-1)$ : $X^3-2X^2-X+2 = (X-1)(X^2-X-2)$ (par identification des coefficients : $(X-1)(X^2+bX+c) = X^3+(b-1)X^2+(c-b)X-c$ , donc $-c=2 \Rightarrow c=-2$ , $b-1=-2 \Rightarrow b=-1$ , et on vérifie $c-b=-2-(-1)=-1$ ✓).

On factorise ensuite $X^2-X-2$ : ses racines vérifient $r_1+r_2=1$ et $r_1 r_2=-2$ , donc $r_1=2, r_2=-1$ . Ainsi $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$ .

Finalement : $P(X) = (X-1)(X-2)(X+1)$ . $\blacksquare$

Exercice 15

Soit $P(X) = (X^2+1)(X-1)^2$ . Quel est l'ensemble des racines réelles de $P$ et leur multiplicité ?

Corrigé

$X^2+1$ n'a pas de racine réelle (ses racines sont $i$ et $-i$ , complexes non réelles). La seule racine réelle de $P$ provient du facteur $(X-1)^2$ , donc $1$ est racine réelle de multiplicité $2$ , et c'est la seule.

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