Applications et synthèse

Méthode générale pour un problème de probabilités

1. Identifier l'univers $\Omega$ de l'expérience et vérifier s'il y a équiprobabilité.
2. Définir clairement chaque événement étudié (en mots, puis en ensemble d'issues si besoin).
3. Calculer les probabilités élémentaires demandées, en utilisant :
- $P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$ (cas équiprobable),
- $P(\bar{A}) = 1-P(A)$ ,
- $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

Tableau croisé d'effectifs

Les données de probabilités sont souvent présentées dans un tableau à double entrée, ce qui facilite le calcul des intersections.

Exemple : répartition de $200$ élèves selon le sexe et le choix d'une option :

Option A

Option B

Total

|---|---|---|---|

Filles	$40$	$60$	$100$
Garçons	$50$	$50$	$100$
Total	$90$	$110$	$200$

Pour un élève pris au hasard,

P(\text{Fille et Option A}) = \dfrac{40}{200} = 0{,}2

Reconnaître la bonne formule

Astuce : le mot "et" dans un énoncé correspond généralement à une intersection ( $\cap$ ), et le mot "ou" correspond à une réunion ( $\cup$ ). Attention à toujours vérifier si les événements sont compatibles avant d'appliquer une formule simplifiée.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un énoncé de probabilités, le mot "ou" correspond généralement à :

Corrigé

Le mot "ou" traduit le fait qu'au moins l'un des deux événements se produit, ce qui correspond à la réunion $A \cup B$ .

Exercice 2

Dans un tableau croisé d'effectifs, comment calcule-t-on la probabilité d'une case précise (par exemple "Fille et Option A") ?

Corrigé

Pour une expérience équiprobable (un individu pris au hasard), la probabilité d'une catégorie est le rapport de son effectif sur l'effectif total.

Exercice 3

Dans un tableau croisé d'effectifs, la case "Total" en bas à droite correspond toujours à l'effectif total de la population étudiée.

Corrigé

La case en bas à droite d'un tableau croisé (intersection de la ligne "Total" et de la colonne "Total") donne toujours l'effectif total de la population étudiée.

Exercice 4

On reprend le tableau de l'exemple du cours ( $200$ élèves). Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard soit un garçon ayant choisi l'option B ?

Corrigé

L'effectif "Garçons et Option B" est $50$ . $P = \dfrac{50}{200} = 0{,}25$ .

Exercice 5

Une urne contient des jetons numérotés de $1$ à $20$ . On tire un jeton au hasard. Soit $A$ l'événement "le numéro est un multiple de 4" et $B$ l'événement "le numéro est un multiple de 5". Calcule $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A\cap B)$ puis $P(A\cup B)$ .

Corrigé

On liste explicitement les issues de chaque événement (en remarquant qu'être multiple de 4 et de 5 équivaut à être multiple de leur PPCM, 20), puis on applique la formule de la réunion.

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