Arbres de probabilités

Représenter une expérience à deux épreuves

Un arbre pondéré (ou arbre de probabilités) représente une expérience aléatoire constituée de plusieurs épreuves successives. Chaque branche est étiquetée par la probabilité de l'issue correspondante.

Règle des nœuds

À partir d'un même nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent est égale à $1$ .

p_1+p_2+\ldots+p_n = 1

Règle du produit (le long d'un chemin)

La probabilité d'un chemin (succession de branches menant à une feuille de l'arbre) est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Exemple : une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule (tirage avec remise, donc les deux tirages sont indépendants). La probabilité d'obtenir « rouge puis rouge » est :

P(\text{R puis R}) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}

Règle de la somme (chemins menant à un même événement)

Si un événement peut être atteint par plusieurs chemins différents, sa probabilité est la somme des probabilités de chacun de ces chemins.

Exemple (suite) : la probabilité d'obtenir « une boule rouge et une boule verte, dans n'importe quel ordre » se décompose en deux chemins : « R puis V » et « V puis R ».

P(\text{1 rouge et 1 verte}) = \underbrace{\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}}_{\text{R puis V}} + \underbrace{\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5}}_{\text{V puis R}} = \dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25} = \dfrac{12}{25}

Tirages successifs sans remise

Lorsque le tirage se fait sans remise, la composition de l'urne change après le premier tirage : les probabilités des branches du second tirage dépendent du résultat du premier tirage.

Exemple : avec la même urne ( $3$ rouges, $2$ vertes, $5$ boules en tout), tirage sans remise de deux boules. Si la première boule est rouge, il ne reste plus que $2$ rouges et $2$ vertes parmi $4$ boules pour le second tirage :

P(\text{R puis R}) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}

Point clé : avec remise, les probabilités des branches du second tirage sont identiques à celles du premier. Sans remise, elles changent car l'urne a été modifiée.

À retenir

- À partir d'un même nœud, la somme des probabilités des branches vaut $1$ .
- Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long de ce chemin.
- Probabilité d'un événement avec plusieurs chemins = somme des probabilités de ces chemins.
- Avec remise : les deux tirages sont indépendants. Sans remise : la composition change entre les deux tirages.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est égale à :

Corrigé

C'est la règle des nœuds : les branches issues d'un même nœud représentent toutes les issues possibles à cette étape, leur somme vaut donc $1$ .

Exercice 2

Pour calculer la probabilité d'un chemin complet dans un arbre, on additionne les probabilités rencontrées le long du chemin.

Corrigé

On multiplie les probabilités le long d'un chemin (règle du produit), et on additionne les probabilités de plusieurs chemins différents menant à un même événement (règle de la somme).

Exercice 3

Un sac contient $4$ boules blanches et $6$ boules noires. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde (avec remise). Quelle est la probabilité d'obtenir « blanche puis blanche » ?

Corrigé

Avec remise, les deux tirages sont indépendants : $P(\text{B puis B}) = \dfrac{4}{10}\times\dfrac{4}{10} = \dfrac{16}{100} = \dfrac{4}{25}$ .

Exercice 4

Même sac ( $4$ blanches, $6$ noires), mais cette fois on tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir « blanche puis blanche » ?

Corrigé

Sans remise, après avoir tiré une blanche il ne reste que $3$ blanches parmi $9$ boules : $P(\text{B puis B}) = \dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{9}$ .

Exercice 5

Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules. Calcule la probabilité d'obtenir « une boule rouge et une boule verte, dans n'importe quel ordre ».

Corrigé

On identifie tous les chemins menant à l'événement souhaité, on calcule la probabilité de chaque chemin par produit (en tenant compte du changement de composition de l'urne sans remise), puis on additionne ces probabilités.

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