Réunion et intersection d'événements

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $A$ et $B$ , notée $A \cap B$ , est l'événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ (" $A$ et $B$ ").

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $A$ et $B$ , notée $A \cup B$ , est l'événement constitué des issues qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux) (" $A$ ou $B$ ").

Exemple : on lance un dé à 6 faces. $A$ ="obtenir un nombre pair" $=\{2,4,6\}$ , $B$ ="obtenir un multiple de 3" $=\{3,6\}$ .

A \cap B = \{6\} \qquad \qquad A \cup B = \{2,3,4,6\}

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ (ils ne peuvent pas se produire en même temps).

Formule de la réunion

Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Pourquoi soustraire $P(A \cap B)$ ? Si on additionne simplement $P(A)$ et $P(B)$ , les issues communes à $A$ et $B$ sont comptées deux fois. On retire donc une fois $P(A \cap B)$ pour ne les compter qu'une seule fois.

Cas particulier : si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cap B)=0$ , donc $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

$A \cap B$ désigne l'événement :

Corrigé

L'intersection $A \cap B$ correspond aux issues qui appartiennent simultanément à $A$ et à $B$ , c'est-à-dire l'événement " $A$ et $B$ ".

Exercice 2

Quelle est la formule de la probabilité de la réunion de deux événements $A$ et $B$ ?

Corrigé

C'est la formule générale de la réunion, valable pour deux événements quelconques (compatibles ou non).

Exercice 3

Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cap B) = 0$ .

Corrigé

Par définition, deux événements incompatibles ne peuvent jamais se produire simultanément : leur intersection est l'événement impossible $\emptyset$ , de probabilité $0$ .

Exercice 4

On donne $P(A) = 0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B) = 0{,}2$ . Quelle est $P(A\cup B)$ ?

Corrigé

$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = 0{,}4+0{,}5-0{,}2 = 0{,}7$ .

Exercice 5

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ pratiquent le football, $12$ pratiquent le tennis, et $5$ pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard. Calcule la probabilité qu'il pratique le football ou le tennis.

Corrigé

On modélise chaque sport par un événement, on traduit les effectifs donnés en probabilités, puis on applique la formule de la réunion pour éviter de compter deux fois les élèves pratiquant les deux sports.

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