Vocabulaire et équiprobabilité

Vocabulaire de base

- L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
- Une issue (ou éventualité) est un résultat possible de l'expérience, un élément de $\Omega$ .
- Un événement est un ensemble d'issues, c'est-à-dire une partie de $\Omega$ .
- L'événement contraire de $A$ , noté $\bar{A}$ , est constitué des issues qui n'appartiennent pas à $A$ .

Exemple : on lance un dé à 6 faces. $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ . L'événement $A$ = "obtenir un nombre pair" $=\{2,4,6\}$ . Son contraire $\bar{A}$ = "obtenir un nombre impair" $=\{1,3,5\}$ .

Propriétés des probabilités

Pour tout événement $A$ :

0 \leqslant P(A) \leqslant 1 \qquad \qquad P(\Omega) = 1 \qquad \qquad P(\emptyset) = 0

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Situation d'équiprobabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues de $\Omega$ ont la même probabilité de se produire (par exemple un dé non truqué, une pièce équilibrée).

Dans une situation d'équiprobabilité avec $\Omega$ comportant $n$ issues, chaque issue a pour probabilité $\dfrac{1}{n}$ , et pour tout événement $A$ :

P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles (cardinal de } \Omega\text{)}}

Exemple : dé à 6 faces équilibré, $A$ ="obtenir un multiple de 3" $=\{3,6\}$ . $P(A) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est :

Corrigé

Par définition, l'univers $\Omega$ regroupe toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un $5$ ?

Corrigé

Il y a $6$ issues équiprobables, donc chaque issue a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$ .

Exercice 3

Pour tout événement $A$ , on a $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ .

Corrigé

Un événement et son contraire forment une partition de l'univers : leurs probabilités s'additionnent toujours pour donner $1$ .

Exercice 4

Dans un sac, il y a $4$ boules rouges et $6$ boules bleues, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Corrigé

Il y a $10$ boules en tout, dont $4$ rouges : $P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Exercice 5

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ l'événement "obtenir un nombre strictement supérieur à 4". Détermine $P(A)$ puis $P(\bar{A})$ , et donne la signification de $\bar{A}$ .

Corrigé

On identifie d'abord les issues favorables à $A$ parmi les issues équiprobables de $\Omega$ , on calcule $P(A)$ par le rapport des cardinaux, puis on utilise $P(\bar{A})=1-P(A)$ plutôt que de recompter.

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