Loi des grands nombres

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) d'espérance $\mu$ . Alors :

\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{P} \mu

La moyenne empirique converge en probabilité vers la vraie moyenne.

Pour toute variable $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ :

P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Par l'inégalité de Chebyshev, si $\sigma^2 = 4$ et $\mu = 10$ , majorer $P(|X - 10| \geq 4)$ .

Corrigé

$k = \frac{4}{\sigma} = \frac{4}{2} = 2$ . Donc $P(|X-10| \geq 4) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4}$ .

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