Théorème central limite

Théorème central limite (TCL)

Énoncé

Soit $(X_n)$ i.i.d. avec $E(X_i) = \mu$ et $V(X_i) = \sigma^2 < +\infty$ . Alors :

\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)

En pratique : Pour $n \geq 30$ , on peut approcher $\bar{X}_n$ par une loi normale.

Intervalles de confiance

Pour estimer $\mu$ avec un niveau de confiance $95\%$ :

\bar{X}_n \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Le $1.96$ vient de la loi normale : $P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) \approx 95\%$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

On lance $n = 100$ fois un dé équilibré. L'espérance de la moyenne est $\mu = 3.5$ et $\sigma = \sqrt{35/12}$ . Quelle est la largeur approximative de l'IC à $95\%$ ?

Corrigé

Largeur $= 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sqrt{35/12}}{10} \approx 2 \times 1.96 \times 0.17 \approx 0.68$ .

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