Variables aléatoires continues

Densité de probabilité

Une variable aléatoire $X$ est continue s'il existe une fonction $f \geq 0$ (densité) telle que :

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx \quad \text{avec} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1

Espérance et variance

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\, dx

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\, dx - \mu^2

Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

Pour la loi normale standard $\mathcal{N}(0, 1)$ : $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ , quelle est la probabilité $P(-1 \leq X \leq 1)$ approximativement ?

Corrigé

La règle des $68$ - $95$ - $99.7\%$ : $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68\%$ . Ici $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ , donc $P(-1 \leq X \leq 1) \approx 68\%$ .

AlphaMath Académie · Variables aléatoires continues · Probabilités avancées

Variables aléatoires continues