Arbres pondérés et formule des probabilités totales

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une situation à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et :

- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .

- La probabilité associée à un chemin (de la racine à une feuille) s'obtient en multipliant les probabilités des branches traversées (formule des probabilités composées).

- La probabilité d'un événement représenté par plusieurs chemins s'obtient en additionnant les probabilités de ces chemins.

Exemple

Une urne $A$ contient $70\%$ de boules rouges, une urne $B$ en contient $20\%$ . On choisit l'urne $A$ avec probabilité $0{,}6$ et l'urne $B$ avec probabilité $0{,}4$ , puis on tire une boule.

Arbre :

- Branche $A$ (probabilité $0{,}6$ ) → branche $R$ sachant $A$ (probabilité $0{,}7$ ) : chemin $A\cap R$ , probabilité $0{,}6\times0{,}7=0{,}42$ .
- Branche $A$ (probabilité $0{,}6$ ) → branche $\overline{R}$ sachant $A$ (probabilité $0{,}3$ ) : chemin $A\cap\overline{R}$ , probabilité $0{,}18$ .
- Branche $B$ (probabilité $0{,}4$ ) → branche $R$ sachant $B$ (probabilité $0{,}2$ ) : chemin $B\cap R$ , probabilité $0{,}08$ .
- Branche $B$ (probabilité $0{,}4$ ) → branche $\overline{R}$ sachant $B$ (probabilité $0{,}8$ ) : chemin $B\cap\overline{R}$ , probabilité $0{,}32$ .

Formule des probabilités totales

Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $\Omega$ , avec chaque $P(A_i)\neq 0$ ), alors pour tout événement $B$ :

$P(B) = P(A_1)\times P_{A_1}(B) + P(A_2)\times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n)\times P_{A_n}(B)$

Exemple (suite)

Avec la partition $\{A, B\}$ (on choisit forcément une urne) :

P(R) = P(A)\times P_A(R) + P(B)\times P_B(R) = 0{,}6\times0{,}7+0{,}4\times0{,}2 = 0{,}42+0{,}08=0{,}5

On retrouve bien la somme des deux chemins menant à $R$ dans l'arbre : $0{,}42+0{,}08=0{,}5$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut :

Corrigé

Les branches issues d'un même nœud forment une partition de l'univers conditionné à ce nœud, donc leur somme vaut toujours $1$ .

Exercice 2

Pour calculer la probabilité d'un chemin dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités des branches traversées.

Corrigé

C'est la formule des probabilités composées appliquée le long d'un chemin de l'arbre.

Exercice 3

Une urne contient des boules dont $40\%$ sont vertes. On sait que $P_V(G) = 0{,}5$ (probabilité de tirer une boule "gagnante" sachant qu'elle est verte) et $P_{\overline{V}}(G) = 0{,}1$ . Quelle formule permet de calculer $P(G)$ ?

Corrigé

On applique la formule des probabilités totales avec la partition $\{V,\overline{V}\}$ : $P(G)=P(V)P_V(G)+P(\overline V)P_{\overline V}(G)$ , avec $P(V)=0{,}4$ et $P(\overline V)=0{,}6$ .

Exercice 4

Une usine fabrique des pièces sur deux machines : la machine $M_1$ produit $60\%$ des pièces avec un taux de défaut de $2\%$ , la machine $M_2$ produit $40\%$ des pièces avec un taux de défaut de $5\%$ . On note $D$ l'événement "la pièce est défectueuse". Calcule $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

Corrigé

On identifie la partition formée par les deux machines, puis on applique directement la formule des probabilités totales avec les taux de défaut donnés.

Exercice 5

Dans une population, $1\%$ des personnes sont atteintes d'une maladie $M$ . Un test de dépistage est positif chez $98\%$ des malades, et positif (à tort) chez $3\%$ des personnes non malades. On note $T$ l'événement "le test est positif". Construis l'arbre pondéré correspondant, calcule $P(T)$ , puis calcule $P(M\cap T)$ .

Corrigé

On construit l'arbre à deux niveaux (statut de la maladie, puis résultat du test), on multiplie le long des chemins, puis on additionne les chemins menant à $T$ pour obtenir $P(T)$ par la formule des probabilités totales.

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