Indépendance de deux événements

Définition

Deux événements $A$ et $B$ (avec $P(A)\neq 0$ ) sont indépendants si :

$P_A(B) = P(B)$

Autrement dit, savoir que $A$ s'est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$ .

Caractérisation équivalente

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$

Cette formule est souvent plus pratique à utiliser, car elle ne nécessite pas de calculer $P_A(B)$ au préalable.

Exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 ».

P(A) = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \qquad P(B) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

$A\cap B$ : « obtenir un nombre pair et multiple de 3 », c'est-à-dire $6$ : $P(A\cap B) = \dfrac{1}{6}$ .

On vérifie : $P(A)\times P(B) = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} = P(A\cap B)$ .

Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Attention à ne pas confondre

Indépendance ( $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ) et incompatibilité ( $A\cap B=\varnothing$ , donc $P(A\cap B)=0$ ) sont deux notions très différentes !

Si $A$ et $B$ sont incompatibles et tous deux de probabilité non nulle, ils ne peuvent pas être indépendants (sauf cas trivial), car $P(A\cap B)=0 \neq P(A)P(B)$ en général.

Exemple de vérification d'indépendance

Dans une classe, $P(F)=0{,}5$ (être une fille) et $P(R)=0{,}3$ (être redoublant), avec $P(F\cap R) = 0{,}15$ .

On vérifie : $P(F)\times P(R) = 0{,}5\times0{,}3=0{,}15=P(F\cap R)$ .

Les événements $F$ et $R$ sont donc indépendants dans cette classe.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

Corrigé

C'est la caractérisation de l'indépendance par les probabilités, équivalente à $P_A(B)=P(B)$ .

Exercice 2

Deux événements incompatibles (d'intersection vide) et de probabilités non nulles peuvent être indépendants.

Corrigé

Si $A\cap B=\varnothing$ , alors $P(A\cap B)=0$ . Pour l'indépendance il faudrait $P(A)P(B)=0$ , ce qui est impossible si les deux probabilités sont non nulles.

Exercice 3

On donne $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}25$ et $P(A\cap B)=0{,}1$ . Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Corrigé

$P(A)\times P(B) = 0{,}4\times0{,}25=0{,}1=P(A\cap B)$ : l'égalité est vérifiée, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Exercice 4

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit $A$ : "la carte est un cœur" et $B$ : "la carte est une figure (Roi, Dame ou Valet)". On a $P(A)=\dfrac{1}{4}$ , $P(B)=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$ , et $P(A\cap B)=\dfrac{3}{32}$ (3 figures de cœur). Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie le calcul.

Corrigé

On calcule le produit des probabilités individuelles et on le compare à la probabilité de l'intersection ; l'égalité confirme l'indépendance.

Exercice 5

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Soit $A$ : "on obtient Pile au premier lancer" et $B$ : "on obtient exactement un Pile sur les deux lancers". Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ , puis détermine si $A$ et $B$ sont indépendants.

Corrigé

On liste l'univers à 4 issues équiprobables, on dénombre chaque événement, puis on vérifie l'égalité caractéristique de l'indépendance (résultat parfois contre-intuitif mais correct ici).

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