Probabilité conditionnelle

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ , avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est définie par :

P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

Cela se lit : « la probabilité de $B$ , sachant que $A$ est déjà réalisé ». On restreint l'univers à $A$ et on regarde la proportion de $B$ à l'intérieur de $A$ .

Exemple

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ pratiquent un sport ( $S$ ) et parmi eux, $12$ pratiquent aussi la musique ( $M$ ). On choisit un élève au hasard.

P(S) = \dfrac{18}{30} = 0{,}6 \qquad P(S\cap M) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4

P_S(M) = \dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} = \dfrac{0{,}4}{0{,}6} = \dfrac{2}{3}

Formule des probabilités composées

En réarrangeant la définition, on obtient :

P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)

C'est cette formule qui est utilisée pour calculer les probabilités le long des branches d'un arbre pondéré.

Propriétés

- $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$
- $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ (la probabilité conditionnelle, à $A$ fixé, est bien une probabilité sur $\Omega$ )
- En général, $P_A(B) \neq P_B(A)$ : il ne faut pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

Exemple (suite)

P_S(\overline{M}) = 1-P_S(M) = 1-\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}

Cela signifie qu'un tiers des sportifs ne font pas de musique.

Exercices de la leçon

Exercice 1

La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ est définie par :

Corrigé

C'est la définition même de la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ .

Exercice 2

En général, $P_A(B)$ est égal à $P_B(A)$ .

Corrigé

Sauf cas particulier, $P_A(B) \neq P_B(A)$ : confondre les deux est une erreur classique (elles ont des dénominateurs différents, $P(A)$ contre $P(B)$ ).

Exercice 3

On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A\cap B) = 0{,}1$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

Corrigé

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$ .

Exercice 4

Dans un lycée, $55\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $30\%$ choisissent l'option "art". On note $F$ l'événement "être une fille" et $O$ l'événement "choisir l'option art". Calcule $P(F\cap O)$ .

Corrigé

On reconnaît une probabilité conditionnelle donnée dans l'énoncé ( $P_F(O)$ ), et on applique la formule des probabilités composées pour obtenir l'intersection.

Exercice 5

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes (8 cartes par couleur : pique, cœur, carreau, trèfle). Soit $R$ l'événement "la carte est un roi" et $C$ l'événement "la carte est un cœur". Il y a $4$ rois dans le jeu et $1$ roi de cœur. Calcule $P(R)$ , $P(R\cap C)$ , puis $P_R(C)$ et interprète ce résultat.

Corrigé

On calcule d'abord les probabilités "brutes" par comptage, puis on applique la définition de la probabilité conditionnelle pour obtenir $P_R(C)$ , qu'on interprète concrètement.

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