Arbres pondérés et formule des probabilités totales

Arbres pondérés à plusieurs niveaux

Un arbre pondéré permet de représenter une succession d'expériences. À chaque branche, on indique une probabilité (simple à la racine, conditionnelle pour les niveaux suivants).

Règles de lecture d'un arbre :

- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;

- la probabilité d'un "chemin" (succession de branches) s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin (formule des probabilités composées) ;

- la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins s'obtient en additionnant les probabilités de ces chemins.

Partition de l'univers et probabilités totales

Définition : des événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers tout entier (autrement dit, un et un seul des $A_i$ se réalise à chaque issue).

Formule des probabilités totales : si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l'univers (chacun de probabilité non nulle), alors pour tout événement $B$ :

$P(B) = P(A_1)\times P_{A_1}(B) + P(A_2)\times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n)\times P_{A_n}(B)$

C'est exactement ce que traduit un arbre pondéré : on additionne les probabilités de tous les chemins menant à $B$ .

Exemple détaillé

Une entreprise reçoit des pièces de deux fournisseurs : $F_1$ (60\% des pièces) et $F_2$ (40\% des pièces). Le taux de pièces défectueuses ( $D$ ) est de $5\%$ chez $F_1$ et de $8\%$ chez $F_2$ .

On a $P(F_1)=0{,}6$ , $P(F_2)=0{,}4$ , $P_{F_1}(D)=0{,}05$ , $P_{F_2}(D)=0{,}08$ . Comme $F_1$ et $F_2$ forment une partition de l'univers :

P(D) = P(F_1)\times P_{F_1}(D) + P(F_2)\times P_{F_2}(D) = 0{,}6\times0{,}05 + 0{,}4\times0{,}08 = 0{,}03+0{,}032 = 0{,}062

Donc $6{,}2\%$ des pièces reçues sont défectueuses, toutes provenances confondues.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en :

Corrigé

On multiplie les probabilités successives le long d'un chemin, conformément à la formule des probabilités composées.

Exercice 2

Si $A_1$ et $A_2$ forment une partition de l'univers, alors $P(A_1)+P(A_2)=1$ .

Corrigé

Par définition d'une partition (événements incompatibles dont la réunion est l'univers), la somme de leurs probabilités vaut $1$ .

Exercice 3

Une urne contient $70\%$ de boules rouges et $30\%$ de boules vertes. Parmi les rouges, $20\%$ sont marquées d'une étoile ; parmi les vertes, $50\%$ sont marquées d'une étoile. Calcule la probabilité qu'une boule tirée au hasard soit marquée d'une étoile.

Corrigé

On reconnaît une partition de l'univers (rouge/vert) et on applique la formule des probabilités totales en sommant les deux chemins de l'arbre menant à l'événement $E$ .

Exercice 4

Dans un test de dépistage, $2\%$ de la population est porteuse d'une maladie ( $M$ ). Le test est positif ( $T$ ) chez $98\%$ des porteurs et chez $3\%$ des non-porteurs. Calcule la probabilité qu'une personne prise au hasard ait un test positif, puis calcule $P_T(M)$ , la probabilité qu'une personne soit réellement porteuse sachant que son test est positif.

Corrigé

On calcule d'abord $P(T)$ par la formule des probabilités totales en sommant les deux chemins de l'arbre (porteur/non-porteur), puis on utilise la définition de la probabilité conditionnelle pour inverser le sens du conditionnement et obtenir $P_T(M)$ .

Exercice 5

Soit $A_1, A_2, A_3$ une partition de l'univers avec $P(A_1)=0{,}3$ , $P(A_2)=0{,}5$ , $P(A_3)=0{,}2$ , et $P_{A_1}(B)=0{,}1$ , $P_{A_2}(B)=0{,}4$ , $P_{A_3}(B)=0{,}6$ . Que vaut $P(B)$ ?

Corrigé

$P(B) = 0{,}3\times0{,}1+0{,}5\times0{,}4+0{,}2\times0{,}6 = 0{,}03+0{,}2+0{,}12 = 0{,}35$ .

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