Indépendance de deux événements

Définition de l'indépendance

Définition : deux événements $A$ et $B$ (de probabilités non nulles) sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, ce qui se traduit par :

$P_A(B) = P(B) \qquad \text{(de façon équivalente : } P_B(A)=P(A)\text{)}$

Caractérisation pratique (la plus utilisée) : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$

Exemple : on lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ = "obtenir un nombre pair" et $B$ = "obtenir un multiple de 3". On a $P(A)=\dfrac12$ , $P(B)=\dfrac13$ , et $A\cap B$ = "obtenir 6" donc $P(A\cap B)=\dfrac16$ .

On vérifie : $P(A)\times P(B) = \dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16 = P(A\cap B)$ . Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Piège classique : indépendance et incompatibilité sont deux notions très différentes. Deux événements incompatibles ( $A\cap B=\emptyset$ ) ne sont indépendants que si l'un des deux est de probabilité nulle (cas limite sans intérêt pratique). Ne confonds jamais ces deux notions.

Indépendance et répétition d'expériences

Lorsqu'on répète plusieurs fois une même expérience de façon indépendante (par exemple plusieurs lancers de dé ou de pièce), la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. C'est ce principe qui justifie la formule de la loi binomiale étudiée par ailleurs.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

Corrigé

C'est la caractérisation pratique de l'indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

Exercice 2

Deux événements incompatibles sont toujours indépendants.

Corrigé

C'est un piège classique : incompatibilité et indépendance sont des notions différentes. Deux événements incompatibles non vides de probabilité non nulle ne sont en général pas indépendants.

Exercice 3

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit $A$ = "la carte est un cœur" et $B$ = "la carte est une figure (Roi, Dame ou Valet)". Sachant $P(A)=\dfrac{1}{4}$ , $P(B)=\dfrac{3}{8}$ et $P(A\cap B)=\dfrac{3}{32}$ , les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Corrigé

On vérifie la caractérisation de l'indépendance en comparant $P(A\cap B)$ au produit $P(A)\times P(B)$ ; l'égalité confirme l'indépendance.

Exercice 4

Une urne contient des boules dont $40\%$ sont rouges. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Soit $A$ = "la première boule est rouge" et $B$ = "la deuxième boule est rouge". Calcule $P(A\cap B)$ en justifiant l'indépendance des deux tirages.

Corrigé

Le tirage avec remise garantit l'indépendance des deux tirages successifs (composition de l'urne inchangée), ce qui justifie d'appliquer directement la formule du produit des probabilités.

Exercice 5

On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit $A$ = "le premier lancer donne Face" et $B$ = "le second lancer donne Face". Que vaut $P(A\cap B)$ ?

Corrigé

Les deux lancers sont indépendants, donc $P(A\cap B)=P(A)\times P(B) = \dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ .

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