Probabilité conditionnelle : rappels et approfondissement

Rappel de la définition

Définition : soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est définie par :

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

On en déduit la formule des probabilités composées :

P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B)

Propriétés de $P_A$

La fonction $P_A$ se comporte comme une probabilité sur l'univers réduit à $A$ :

- $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ (probabilité de l'événement contraire, sachant $A$ ) ;
- $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$ ;
- pour deux événements $B$ et $C$ incompatibles, $P_A(B \cup C) = P_A(B) + P_A(C)$ .

Exemple : dans une classe, $60\%$ des élèves pratiquent un sport ( $S$ ), et parmi les sportifs, $80\%$ ont la moyenne en mathématiques ( $M$ ). On a $P(S)=0{,}6$ et $P_S(M)=0{,}8$ .

P(S\cap M) = P(S)\times P_S(M) = 0{,}6\times0{,}8 = 0{,}48

Donc $48\%$ des élèves de la classe sont à la fois sportifs et ont la moyenne en mathématiques.

Attention à ne pas confondre : $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$ ) et $P_B(A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$ ) sont en général différentes.

Exercices de la leçon

Exercice 1

La formule des probabilités composées s'écrit :

Corrigé

C'est la formule directement issue de la définition de la probabilité conditionnelle : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .

Exercice 2

En général, $P_A(B)$ est égale à $P_B(A)$ .

Corrigé

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont en général différentes ; elles ne coïncident que dans des cas particuliers (notamment si $P(A)=P(B)$ ).

Exercice 3

Sachant que $P(A) = 0{,}4$ et $P(A\cap B) = 0{,}12$ , calcule $P_A(B)$ .

Corrigé

On applique directement la formule $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ avec les données numériques de l'énoncé.

Exercice 4

Dans un lycée, $70\%$ des élèves sont en filière générale ( $G$ ). Parmi eux, $30\%$ suivent l'option mathématiques expertes ( $E$ ). Calcule la probabilité qu'un élève pris au hasard soit en filière générale ET suive l'option mathématiques expertes.

Corrigé

On traduit l'énoncé en termes de probabilité conditionnelle, puis on applique la formule des probabilités composées pour obtenir la probabilité de l'intersection.

Exercice 5

Si $P_A(B) = 0{,}25$ , que vaut $P_A(\overline{B})$ ?

Corrigé

On utilise la propriété $P_A(\overline B) = 1-P_A(B) = 1-0{,}25=0{,}75$ .

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Probabilité conditionnelle : rappels et approfondissement

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Propriétés de PAP_APA​

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Propriétés de $P_A$