Loi binomiale et loi de Poisson

Soit $X\sim B(5,0.5)$. Quelle est $P(X=2)$ ?

$P(X=2)=\binom{5}{2}(1/2)^5=10/32=5/16$.

Pour $X\sim B(n,p)$, $\mathbb{E}[X]$ vaut :

$X=\sum_{i=1}^n X_i$ (Bernoulli indépendantes). Par linéarité : $\mathbb{E}[X]=np$.

Vrai ou faux : Pour $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$, $\mathbb{E}[X]=\text{Var}(X)=\lambda$.

Vrai. Propriété caractéristique de la loi de Poisson.

Calculer $P(X=0)$ pour $X\sim\mathcal{P}(3)$.

$P(X=0)=e^{-3}\cdot3^0/0!=e^{-3}$.

Vrai ou faux : $X\sim B(n,p)$ peut prendre les valeurs $0,1,\ldots,n$.

$X$ compte les succès parmi $n$ épreuves : $X\in\{0,1,\ldots,n\}$.

Sur $200$ pièces avec $2\%$ de défauts, quel est le nombre moyen de pièces défectueuses ?

$X\sim B(200,0.02)$. $\mathbb{E}[X]=np=200\times0.02=4$.

$\lambda=5$ clients/heure. Probabilité qu'il en arrive exactement $3$ ?

$X\sim\mathcal{P}(5)$. $P(X=3)=e^{-5}5^3/3!=e^{-5}\cdot125/6\approx0.140$.

Approcher $P(X\geq1)$ pour $X\sim B(100,0.02)$ par Poisson.

$\lambda=np=2$. $P(X\geq1)=1-e^{-2}\approx0.865$.

Vrai ou faux : $B(n,\lambda/n)$ converge vers $\mathcal{P}(\lambda)$ quand $n\to\infty$.

Vrai. C'est le théorème de Poisson.

Calculer $\text{Var}(X)$ pour $X\sim B(20,0.4)$.

$\text{Var}(X)=np(1-p)=20\times0.4\times0.6=4.8$.

Démontrer $\mathbb{E}[X]=np$ pour $X\sim B(n,p)$ via la fonction génératrice $G(t)=(pt+1-p)^n$.

$G(t)=\mathbb{E}[t^X]=(pt+(1-p))^n$ (binôme). $G'(t)=np(pt+(1-p))^{n-1}$. $\mathbb{E}[X]=G'(1)=np$. $\square$

Montrer que $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$, $Y\sim\mathcal{P}(\mu)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y\sim\mathcal{P}(\lambda+\mu)$.

$P(X+Y=n)=\sum_{k=0}^n e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}$. $\square$

Exprimer $P(X=k+1)/P(X=k)$ pour $X\sim B(n,p)$.

$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}\cdot\frac{p}{1-p}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$.

Vrai ou faux : La seule loi discrète sur $\mathbb{N}$ avec $\mathbb{E}[X]=\text{Var}(X)$ est la loi de Poisson.

Faux. $X=0$ constante a $\mathbb{E}[X]=\text{Var}(X)=0$, et il existe d'autres lois vérifiant cette propriété.

En moyenne $\lambda=4$ accidents/semaine. Probabilité d'avoir moins de 2 accidents en une semaine ?

$X\sim\mathcal{P}(4)$. $P(X<2)=e^{-4}+4e^{-4}=5e^{-4}\approx5\times0.01832\approx0.092$.