Variables aléatoires discrètes

Soit $X$ avec $P(X=1)=0.3$, $P(X=2)=0.5$, $P(X=3)=0.2$. Quelle est $\mathbb{E}[X]$ ?

$\mathbb{E}[X]=1\times0.3+2\times0.5+3\times0.2=0.3+1.0+0.6=1.9$.

Vrai ou faux : La variance d'une v.a. est toujours positive ou nulle.

$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]\geq0$ car c'est l'espérance d'une quantité positive.

Pour $X\sim B(p)$, que vaut $\mathbb{E}[X^2]$ ?

$X\in\{0,1\}$, donc $X^2=X$. Ainsi $\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[X]=p$.

Si $\mathbb{E}[X]=3$ et $\mathbb{E}[X^2]=13$, quelle est $\text{Var}(X)$ ?

$\text{Var}(X)=13-3^2=13-9=4$.

Vrai ou faux : $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$ même si $X,Y$ ne sont pas indépendantes.

Vrai. La linéarité de l'espérance est inconditionnelle (ne requiert pas l'indépendance).

Calculer $\text{Var}(2X-3)$ en fonction de $\text{Var}(X)$.

$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$. Donc $\text{Var}(2X-3)=4\text{Var}(X)$.

Calculer $\mathbb{E}[X]$ et $\text{Var}(X)$ pour $X$ uniforme sur $\{1,2,3,4,5,6\}$.

$\mathbb{E}[X]=21/6=7/2$. $\mathbb{E}[X^2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6$. $\text{Var}(X)=91/6-49/4=(182-147)/12=35/12=(n^2-1)/12$ avec $n=6$.

Si $\mathbb{E}[X]=5$, que dit l'inégalité de Markov sur $P(X\geq 20)$ ?

Markov : $P(X\geq a)\leq\mathbb{E}[X]/a=5/20=1/4$.

Vrai ou faux : Si $X,Y$ indépendantes, $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$.

Vrai. En général $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$, et l'indépendance entraîne $\text{Cov}(X,Y)=0$.

Soit $X\sim G(1/3)$ (géométrique). Quelle est $\mathbb{E}[X]$ ?

Pour $G(p)$, $\mathbb{E}[X]=1/p=3$.

Démontrer que $\text{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2$.

Soit $m=\mathbb{E}[X]$.
$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-m)^2]=\mathbb{E}[X^2-2mX+m^2]=\mathbb{E}[X^2]-2m\mathbb{E}[X]+m^2=\mathbb{E}[X^2]-m^2$. $\square$

Soit $X$ à valeurs dans $\{0,1,2,3\}$ avec $P(X=k)=c\binom{3}{k}$. Trouver $c$ et $\mathbb{E}[X]$.

$c\cdot 2^3=1$ donc $c=1/8$. $\mathbb{E}[X]=0\cdot1/8+1\cdot3/8+2\cdot3/8+3\cdot1/8=12/8=3/2$. (Loi $B(3,1/2)$, $\mathbb{E}=np=3/2$.)

Vrai ou faux : Si $\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$, alors $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Faux. $\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ signifie $\text{Cov}(X,Y)=0$ (non-corrélation), ce qui est plus faible que l'indépendance.

Démontrer l'inégalité de Markov.

$\mathbb{E}[X]\geq\sum_{x_k\geq a}x_k P(X=x_k)\geq a\sum_{x_k\geq a}P(X=x_k)=a\cdot P(X\geq a)$. Donc $P(X\geq a)\leq\mathbb{E}[X]/a$. $\square$

Montrer que $\text{Var}(X)=(n^2-1)/12$ pour $X$ uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.

$\mathbb{E}[X^2]=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$. $\text{Var}=(n+1)\left[\frac{2n+1}{6}-\frac{n+1}{4}\right]=(n+1)\frac{n-1}{12}=\frac{n^2-1}{12}$. $\square$