Lois normale et exponentielle

Pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$, $P(X\leq0)$ vaut :

Par symétrie de la loi normale centrée réduite : $P(X\leq0)=\Phi(0)=1/2$.

Vrai ou faux : Si $X\sim\mathcal{N}(2,9)$, alors $(X-2)/3\sim\mathcal{N}(0,1)$.

Vrai. $\mu=2$, $\sigma^2=9$, $\sigma=3$. La standardisation $(X-\mu)/\sigma=(X-2)/3$ suit $\mathcal{N}(0,1)$.

Pour $X\sim\mathcal{E}(2)$, $\mathbb{E}[X]$ vaut :

$\mathbb{E}[X]=1/\lambda=1/2$.

Vrai ou faux : La loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ est symétrique autour de $\mu$.

Vrai. La densité $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ ne dépend que de $(x-\mu)^2$, donc $f(\mu+t)=f(\mu-t)$ : symétrie parfaite autour de $\mu$.

Calculer $P(X\leq3)$ pour $X\sim\mathcal{E}(1)$.

$F_X(x)=1-e^{-x}$ pour $\mathcal{E}(1)$. Donc $P(X\leq3)=1-e^{-3}\approx0.950$.

Si $X\sim\mathcal{N}(5,4)$, calculer $P(3\leq X\leq7)$ en utilisant $\Phi$.

$Z=(X-5)/2\sim\mathcal{N}(0,1)$.
$P(3\leq X\leq7)=P(-1\leq Z\leq1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1\approx2(0.8413)-1=0.6826$.

Règle empirique : $\approx68\%$ dans $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$.

Démontrer la propriété sans mémoire de $\mathcal{E}(\lambda)$.

$P(X>s+t|X>s)=\frac{P(X>s+t\text{ et }X>s)}{P(X>s)}=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}$
$=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$. $\square$

Vrai ou faux : Si $X,Y$ indépendantes $\mathcal{N}(0,1)$, alors $X+Y\sim\mathcal{N}(0,2)$.

Vrai. Par stabilité de la loi normale : $X+Y\sim\mathcal{N}(0+0,1+1)=\mathcal{N}(0,2)$.

Calculer $\mathbb{E}[X^2]$ pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$.

$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2=1$. Comme $\mathbb{E}[X]=0$, $\mathbb{E}[X^2]=1$.

Vrai ou faux : La seule loi continue sans mémoire sur $[0,+\infty[$ est la loi exponentielle.

Vrai. Théorème de caractérisation : si $X\geq0$ est continue et vérifie $P(X>s+t)=P(X>s)P(X>t)$ pour tous $s,t\geq0$, alors $X\sim\mathcal{E}(\lambda)$ pour un certain $\lambda>0$.

Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx=1$ (en utilisant $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$).

Changement de variable $x=\sqrt{2}t$, $dx=\sqrt{2}dt$ :
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\pi}=\sqrt{2\pi}$.

Donc $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}}=1$. $\square$

Vrai ou faux : Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, alors $aX+b\sim\mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)$.

Vrai. La famille des lois normales est stable par transformation affine. $\mathbb{E}[aX+b]=a\mu+b$ et $\text{Var}(aX+b)=a^2\sigma^2$.

Calculer $\mathbb{E}[X^4]$ pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$.

On utilise la formule des moments de $\mathcal{N}(0,1)$ : $\mathbb{E}[X^{2k}]=(2k-1)!! = (2k-1)(2k-3)\cdots1$.

Pour $k=2$ : $\mathbb{E}[X^4]=3!!=3\times1=3$.

Preuve directe (IBP) : $\mathbb{E}[X^4]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int x^4e^{-x^2/2}dx$. IBP avec $u=x^3$, $v'=xe^{-x^2/2}$ donne $\mathbb{E}[X^4]=3\mathbb{E}[X^2]=3$.

Pour $X\sim\mathcal{E}(\lambda)$, calculer la fonction génératrice des moments $M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$ pour $t<\lambda$.

$M_X(t)=\int_0^\infty e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x}dx=\lambda\cdot\frac{1}{\lambda-t}=\frac{\lambda}{\lambda-t}$ pour $t<\lambda$.

On peut vérifier : $M_X'(0)=\lambda/(\lambda)^2=1/\lambda=\mathbb{E}[X]$ ✓.

Vrai ou faux : La médiane de $\mathcal{E}(\lambda)$ est $\ln(2)/\lambda$.

$F(m)=1-e^{-\lambda m}=1/2 \Rightarrow e^{-\lambda m}=1/2 \Rightarrow m=\ln(2)/\lambda$. La médiane est $\ln(2)/\lambda < 1/\lambda = \mathbb{E}[X]$ (la loi est asymétrique à droite).