Théorème central limite

Vrai ou faux : Le TCL s'applique à toute suite i.i.d. de variables aléatoires.

Faux. Le TCL requiert une variance finie ($\sigma^2<\infty$). Par exemple la loi de Cauchy n'a pas de variance (ni d'espérance) et le TCL ne s'applique pas.

Pour $X_i$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$, la somme $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ suit :

Par stabilité de la normale : $S_n\sim\mathcal{N}(n\times0,n\times1)=\mathcal{N}(0,n)$.

Vrai ou faux : La LGN dit que $\bar{X}_n\to\mathbb{E}[X]$ en probabilité.

Vrai. C'est exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres.

Approximer $P(S_{100}\leq55)$ pour $S_{100}\sim B(100,0.5)$ par le TCL.

$\mu=np=50$, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5$. $Z=(55-50)/5=1$. $P(S\leq55)\approx\Phi(1)\approx0.841$.

Si $X_i$ i.i.d. avec $\mathbb{E}[X]=2$, $\text{Var}(X)=4$, approximer $P(\bar{X}_{100}>2.4)$.

Par le TCL : $\bar{X}_{100}\approx\mathcal{N}(2,4/100)=\mathcal{N}(2,0.04)$.
$Z=\frac{\bar{X}_{100}-2}{0.2}$. $P(\bar{X}>2.4)=P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx0.0228$.

Vrai ou faux : La convergence en probabilité implique la convergence en loi.

Vrai. La convergence en probabilité est plus forte que la convergence en loi. La réciproque est fausse en général.

Construire un IC à 95% pour $\mu$ avec $n=100$, $\bar{x}=15$, $\sigma=5$.

$IC_{95\%}=\left[\bar{x}-\frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+\frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}}\right]=\left[15-\frac{1.96\times5}{10},15+\frac{9.8}{10}\right]=[14.02,15.98]$.

Vrai ou faux : Pour $n$ grand, $B(n,p)$ peut être approximée par $\mathcal{N}(np,np(1-p))$.

Vrai. C'est l'approximation normale de la loi binomiale, conséquence directe du TCL appliqué à des variables de Bernoulli i.i.d.

Soit $X_i$ i.i.d. uniformes sur $[0,1]$. Quelle est la loi approchée de $\sqrt{n}(\bar{X}_n-1/2)$ pour $n$ grand ?

Pour $\mathcal{U}([0,1])$ : $\mu=1/2$, $\sigma^2=1/12$. Par le TCL : $\sqrt{n}(\bar{X}_n-1/2)\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,\sigma^2)=\mathcal{N}(0,1/12)$.

Vrai ou faux : Si $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $c_n\to c$, alors $c_nX_n\xrightarrow{\mathcal{L}}cX$.

Vrai. C'est le lemme de Slutsky : si $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $c_n\xrightarrow{P}c$ (constante), alors $c_nX_n\xrightarrow{\mathcal{L}}cX$.

Démontrer la LGN faible via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

$\mathbb{E}[\bar{X}_n]=\mu$ et $\text{Var}(\bar{X}_n)=\sigma^2/n$.

Par Bienaymé-Tchebychev :
$P(|\bar{X}_n-\mu|\geq\varepsilon)\leq\frac{\text{Var}(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow{n\to\infty}0$.

Donc $\bar{X}_n\xrightarrow{P}\mu$. $\square$

Vrai ou faux : Le TCL requiert que les $X_i$ soient identiquement distribuées.

Faux. Des versions plus générales du TCL (Lindeberg-Feller) s'appliquent à des suites de variables indépendantes non nécessairement identiquement distribuées, sous des conditions de régularité.

Énoncer précisément le TCL et les hypothèses nécessaires.

Théorème Central Limite :

Hypothèses : $(X_n)$ suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec $\mathbb{E}[X_1]=\mu\in\mathbb{R}$ et $\text{Var}(X_1)=\sigma^2\in(0,+\infty)$.

Conclusion :

c'est-à-dire pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

Combien de lancers de pièce faut-il pour estimer $P(pile)=0.5$ avec une précision de $0.05$ et une confiance de $95\%$ ?

L'IC à 95% pour $p$ a une demi-largeur $1.96\sigma/\sqrt{n}=1.96\sqrt{p(1-p)}/\sqrt{n}$.

On majore $p(1-p)\leq1/4$. On veut $1.96/(2\sqrt{n})\leq0.05$, soit $\sqrt{n}\geq1.96/(2\times0.05)=19.6$.

$n\geq(19.6)^2=384.16$. On prend $n=385$.

Vrai ou faux : Si $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1)$, alors $X_n^2\xrightarrow{\mathcal{L}}\chi^2(1)$.

Vrai. Si $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $g$ est continue, alors $g(X_n)\xrightarrow{\mathcal{L}}g(X)$ (théorème de convergence continue, ou delta-méthode). Avec $g(x)=x^2$ et $X\sim\mathcal{N}(0,1)$, on obtient $X^2\sim\chi^2(1)$.