Variables aléatoires continues et densités

Soit $f(x)=2x$ sur $[0,1]$ et $0$ ailleurs. Vérifier que c'est une densité.

$f\geq0$ sur $[0,1]$ ✓. $\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$ ✓. C'est bien une densité.

Pour $X\sim\mathcal{U}([0,4])$, quelle est $P(1\leq X\leq 3)$ ?

$f(x)=1/4$ sur $[0,4]$. $P(1\leq X\leq3)=\int_1^3(1/4)dx=2/4=1/2$.

Vrai ou faux : Pour une v.a. continue $X$, $P(X=3)=0$.

Vrai. $P(X=3)=\int_3^3 f(x)dx=0$ pour toute densité $f$.

Quelle est l'espérance de $X\sim\mathcal{U}([2,8])$ ?

$\mathbb{E}[X]=(a+b)/2=(2+8)/2=5$.

Calculer $\mathbb{E}[X]$ pour $X$ de densité $f(x)=2x$ sur $[0,1]$.

$\mathbb{E}[X]=\int_0^1 x\cdot2x\,dx=2\int_0^1 x^2\,dx=2/3$.

Calculer $\text{Var}(X)$ pour $X$ de densité $f(x)=2x$ sur $[0,1]$.

$\mathbb{E}[X^2]=\int_0^1 x^2\cdot2x\,dx=2\int_0^1 x^3\,dx=2/4=1/2$.
$\text{Var}(X)=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=9/18-8/18=1/18$.

Quelle est la médiane de $X\sim\mathcal{U}([0,1])$ ?

Pour $\mathcal{U}([0,1])$, $F(x)=x$. Médiane : $F(m)=1/2\Rightarrow m=1/2$. (Même résultat que la moyenne par symétrie.)

Vrai ou faux : Si $f$ est une densité, alors $f(x)\leq1$ pour tout $x$.

Faux. $f(x)=3x^2$ sur $[0,1]$ est une densité ($\int_0^1 3x^2dx=1$) mais $f(1)=3>1$. Une densité doit être positive et d'intégrale $1$, mais peut dépasser $1$.

Si $X\sim\mathcal{U}([0,1])$, quelle est la densité de $Y=X^2$ ?

Changement de variable : $g(x)=x^2$, $g^{-1}(y)=\sqrt{y}$.
$F_Y(y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq\sqrt{y})=\sqrt{y}$ pour $y\in[0,1]$.
$f_Y(y)=F_Y'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$ pour $y\in(0,1]$.

Vrai ou faux : Toute fonction de répartition $F$ est croissante, continue à droite, avec $F(-\infty)=0$ et $F(+\infty)=1$.

Vrai. Ce sont les propriétés fondamentales de toute fonction de répartition, qu'elle corresponde à une v.a. continue ou non.

Montrer que si $X$ a pour densité $f$, alors $F_X'(t)=f(t)$ pour presque tout $t$.

$F_X(t)=\int_{-\infty}^t f(x)dx$.

Par le théorème fondamental du calcul intégral : si $f$ est continue en $t$, alors $F_X$ est dérivable en $t$ et $F_X'(t)=f(t)$.

Comme $f$ est intégrable, elle est continue presque partout, donc $F_X'=f$ p.p. $\square$

Calculer $\mathbb{E}[e^X]$ pour $X\sim\mathcal{U}([0,1])$.

$\mathbb{E}[e^X]=\int_0^1 e^x\cdot1\,dx=[e^x]_0^1=e-1\approx1.718$.

Vrai ou faux : Si $X$ et $Y$ ont la même fonction de répartition, alors $X$ et $Y$ ont la même loi.

Vrai. La loi d'une v.a. réelle est entièrement caractérisée par sa fonction de répartition. Si $F_X=F_Y$, alors $P(X\in A)=P(Y\in A)$ pour tout borélien $A$.

Trouver la constante $c$ telle que $f(x)=ce^{-|x|}$ soit une densité sur $\mathbb{R}$.

$\int_{-\infty}^\infty ce^{-|x|}dx=2c\int_0^\infty e^{-x}dx=2c\cdot1=2c$.

Pour une densité : $2c=1$, donc $c=1/2$.

C'est la loi de Laplace double (ou loi exponentielle double).

Vrai ou faux : Pour $X$ continue et $g$ croissante, $\mathbb{E}[g(X)]\geq g(\mathbb{E}[X])$ (inégalité de Jensen).

Faux. L'inégalité de Jensen s'applique aux fonctions convexes : $\mathbb{E}[g(X)]\geq g(\mathbb{E}[X])$ si $g$ est convexe. Pour les fonctions concaves l'inégalité s'inverse. Une fonction croissante n'est pas nécessairement convexe.