Applications : théorème d'Al-Kashi et projection

Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ , en notant $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ et $\widehat{A}$ l'angle en $A$ , le théorème d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore) énonce :

a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

Démonstration rapide (à l'aide du produit scalaire)

On écrit $\vec{BC} = \vec{AC}-\vec{AB}$ , donc :

BC^2 = \|\vec{AC}-\vec{AB}\|^2 = \|\vec{AC}\|^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\|\vec{AB}\|^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

car $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AB\times AC\times\cos\widehat{A} = cb\cos\widehat{A}$ .

Exemple

Dans un triangle $ABC$ avec $AB=5$ , $AC=7$ et $\widehat{A}=60°$ :

BC^2 = 5^2+7^2-2\times5\times7\times\cos(60°) = 25+49-70\times\dfrac{1}{2} = 74-35=39

BC = \sqrt{39}

Projection orthogonale

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ , alors :

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH} = AB \times \overline{AH}$

où $\overline{AH}$ est la mesure algébrique de $\vec{AH}$ sur la droite $(AB)$ .

Cette propriété permet de calculer un produit scalaire en se ramenant à une projection, sans connaître l'angle directement.

Exemple

Si $AB=10$ et que le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ vérifie $\overline{AH}=4$ (dans le même sens que $\vec{AB}$ ), alors :

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 10\times4=40

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le théorème d'Al-Kashi généralise :

Corrigé

Quand $\widehat{A}=90°$ , $\cos\widehat{A}=0$ et la formule d'Al-Kashi devient $a^2=b^2+c^2$ , c'est-à-dire le théorème de Pythagore.

Exercice 2

Le théorème d'Al-Kashi ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

Corrigé

Le théorème d'Al-Kashi s'applique à n'importe quel triangle, rectangle ou non ; il généralise le théorème de Pythagore.

Exercice 3

Dans un triangle $ABC$ avec $AB=6$ , $AC=8$ et $\widehat{A}=90°$ , que vaut $BC^2$ selon Al-Kashi ?

Corrigé

$BC^2 = 6^2+8^2-2\times6\times8\times\cos(90°) = 36+64-0=100$ (on retrouve Pythagore puisque $\cos(90°)=0$ ).

Exercice 4

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB=4$ , $AC=6$ et $\widehat{A}=120°$ . Calcule $BC$ à l'aide du théorème d'Al-Kashi (donne la valeur exacte).

Corrigé

On applique directement la formule d'Al-Kashi avec $\cos(120°)=-1/2$ , puis on simplifie la racine carrée obtenue.

Exercice 5

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB=7$ , $BC=8$ et $AC=5$ . Calcule $\cos\widehat{A}$ à l'aide du théorème d'Al-Kashi (en l'écrivant avec le sommet $A$ ), puis donne la valeur de l'angle $\widehat{A}$ arrondie au degré (on donne $\cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}5°$ ).

Corrigé

On isole le cosinus de l'angle dans la formule d'Al-Kashi, en faisant bien attention à associer le côté opposé au sommet considéré, puis on utilise la fonction $\cos^{-1}$ pour obtenir l'angle.

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