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1ère · Produit scalaire

Définition du produit scalaire

Produit scalaire avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} sont deux vecteurs, le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, noté u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}, est le nombre réel défini par :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'

Exemple

u⃗(3−2)\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} et v⃗(14)\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} :

u⃗⋅v⃗=3×1+(−2)×4=3−8=−5\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times1+(-2)\times4 = 3-8=-5

Norme d'un vecteur

La norme de u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} est :

∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}

On remarque que u⃗⋅u⃗=x2+y2=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u} = x^2+y^2 = \|\vec{u}\|^2.

Produit scalaire avec angle et normes

Pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} formant un angle θ=(u⃗ ; v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}\,;\,\vec{v}}) :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta

Exemple

Si ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\|=4, ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\|=5 et l'angle entre eux est θ=60°\theta=60° :

u⃗⋅v⃗=4×5×cos⁡(60°)=20×12=10\vec{u}\cdot\vec{v} = 4\times5\times\cos(60°) = 20\times\dfrac{1}{2}=10

Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire est :
- symétrique : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u} ;
- bilinéaire : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}, et (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v}) pour tout réel kk ;
- nul si l'un des deux vecteurs est nul.

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur !

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est :

Corrigé

Le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} est toujours un nombre réel, contrairement à la somme de vecteurs qui donne un vecteur.

Exercice 2

Le produit scalaire est symétrique : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u} pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}.

Corrigé

C'est une propriété de base du produit scalaire, qui se voit immédiatement avec la formule en coordonnées xx′+yy′=x′x+y′yxx'+yy'=x'x+y'y.

Exercice 3

Soient u⃗(25)\vec{u}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} et v⃗(−13)\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

Corrigé

u⃗⋅v⃗=2×(−1)+5×3=−2+15=13\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-1)+5\times3 = -2+15=13.

Exercice 4

Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} sachant que ∥u⃗∥=6\|\vec{u}\|=6, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\|=3 et que l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} mesure 120°120°.

Corrigé

On applique directement la formule ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta en utilisant la valeur connue cos⁡(120°)=−1/2\cos(120°)=-1/2.

Exercice 5

Soient u⃗(4−3)\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} et v⃗(26)\vec{v}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} avec les coordonnées, puis calcule ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|, et déduis-en la valeur de cos⁡θ\cos\theta où θ\theta est l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

Corrigé

On combine les deux formules du produit scalaire : celle en coordonnées pour calculer u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}, et celle avec angle/normes pour isoler cos⁡θ\cos\theta.

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