Orthogonalité de deux vecteurs

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$

Cela découle de la formule $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ : pour des vecteurs non nuls, le produit scalaire est nul exactement quand $\cos\theta=0$ , soit $\theta=90°$ .

Exemple

$\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ :

\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times4+4\times(-3) = 12-12=0

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Application : droites perpendiculaires

Deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

Exemple

Soit la droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ .

\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-1)+1\times2 = -2+2=0

Les droites

d_1

d_2

sont donc perpendiculaires.

Vecteur normal à une droite

Un vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ non nul est dit normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$ . Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Identités remarquables avec le produit scalaire :

$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$

Exercices de la leçon

Exercice 1

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :

Corrigé

L'orthogonalité de deux vecteurs équivaut exactement à la nullité de leur produit scalaire.

Exercice 2

Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ sont orthogonaux.

Corrigé

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2+2\times1=4\neq0$ , donc ils ne sont pas orthogonaux.

Exercice 3

Une droite a pour équation cartésienne $3x-2y+5=0$ . Quel vecteur est normal à cette droite ?

Corrigé

Pour une droite d'équation $ax+by+c=0$ , un vecteur normal est $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ , ici $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ .

Exercice 4

Détermine la valeur de $k$ pour que les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

Corrigé

On pose l'équation $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ avec les coordonnées et on résout l'équation du premier degré en $k$ .

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$ . Calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis détermine si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Corrigé

On utilise la caractérisation de l'orthogonalité par le produit scalaire nul pour tester si l'angle en $A$ est droit.

AlphaMath Académie · Orthogonalité de deux vecteurs · Produit scalaire