La règle de trois

Introduction

La règle de trois (ou produit en croix) est la technique la plus utilisée pour résoudre les problèmes de proportionnalité. Elle permet de trouver une valeur inconnue quand on en connaît trois autres.

Principe

Si les grandeurs $x$ et $y$ sont proportionnelles, alors :

\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \implies y_1 \times x_2 = y_2 \times x_1 \quad (\text{produit en croix})

La méthode en 3 étapes

📌 Méthode — Règle de trois

1. Identifier les deux grandeurs proportionnelles.

2. Écrire le tableau de correspondance.

3. Calculer par produit en croix : $? = \frac{\text{valeur connue} \times \text{valeur adjacente}}{\text{valeur opposée}}$

Exemples

✅ Exemple simple — Cahiers

5 cahiers coûtent $10$ €. Combien coûtent 8 cahiers ?

Cahiers

|---------|---|---|

Prix (€)

? = \frac{10 \times 8}{5} = \frac{80}{5} = \boxed{16\text{ €}}

📘 Exemple intermédiaire — Consommation d'essence

Une voiture consomme $7$ L pour $100$ km. Combien consomme-t-elle pour $350$ km ?

Distance (km)

100

350

|---|---|---|

Essence (L)

? = \frac{7 \times 350}{100} = \frac{2450}{100} = \boxed{24{,}5\text{ L}}

🔴 Exemple avancé — Recette pour plus de personnes

Une recette pour 6 personnes nécessite $450$ g de farine. Pour 10 personnes ?

Personnes

|---|---|---|

Farine (g)

450

? = \frac{450 \times 10}{6} = \frac{4500}{6} = \boxed{750\text{ g}}

Vérification : $\frac{750}{10} = 75$ g/personne $= \frac{450}{6} = 75$ g/personne ✓

À retenir

- La règle de trois utilise le produit en croix
- Toujours vérifier que les grandeurs sont bien proportionnelles
- L'inconnu $?$ s'obtient par : $\dfrac{\text{produit des termes adjacents}}{\text{terme opposé}}$

Exercices de la leçon

Exercice 1

5 cahiers coûtent 10 €. Combien coûtent 8 cahiers ?

Corrigé

Règle de trois : $? = \frac{10 \times 8}{5} = \frac{80}{5} = \mathbf{16\text{ €}}$ . Vérif : coefficient $= \frac{10}{5} = 2$ €/cahier, donc $8 \times 2 = 16$ €.

Exercice 2

La règle de trois permet de trouver une valeur inconnue dans une situation proportionnelle.

Corrigé

Vrai. La règle de trois (ou produit en croix) est précisément la technique pour calculer une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.

Exercice 3

Une voiture consomme 7 L pour 100 km. Pour un trajet de 350 km, elle consomme…

Corrigé

$? = \frac{7 \times 350}{100} = \frac{2450}{100} = \mathbf{24{,}5\text{ L}}$ . $350$ km, c'est $3{,}5$ fois $100$ km, donc $3{,}5 \times 7 = 24{,}5$ L.

Exercice 4

Une recette pour 6 personnes demande 450 g de farine. Quelle quantité pour 10 personnes ?

Corrigé

$\frac{450 \times 10}{6} = 750$ g.

Exercice 5

Si 4 ouvriers font un mur en 6 jours (en travaillant à la même cadence), combien de jours faudrait-il à 6 ouvriers pour faire le même mur ?

Corrigé

Situation inversement proportionnelle : plus d'ouvriers → moins de jours. Travail total $= 4 \times 6 = 24$ ouvrier-jours. Avec 6 ouvriers : $\frac{24}{6} = \mathbf{4\text{ jours}}$ .

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