Le cône de révolution

Qu'est-ce qu'un cône de révolution ?

Un cône de révolution est un solide engendré par un triangle rectangle qui tourne autour d'un de ses côtés (la hauteur). Sa base est un disque et il possède un sommet.

Le volume du cône

V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}

où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur du cône.

Exemple

Un cône a un rayon $r = 4$ cm et une hauteur $h = 9$ cm.

V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 9}{3} \approx \dfrac{3{,}14 \times 16 \times 9}{3} \approx \dfrac{452{,}16}{3} \approx 150{,}72 \text{ cm}^3

Comparaison avec le cylindre

Pour un même rayon et une même hauteur, le volume d'un cône est égal au tiers du volume du cylindre correspondant — exactement comme la pyramide par rapport au prisme.

V_{cône} = \dfrac{1}{3} V_{cylindre}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle formule donne le volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ ?

Corrigé

Le volume du cône est $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ , soit un tiers du volume du cylindre de même base et hauteur.

Exercice 2

Vrai ou faux : pour un même rayon et une même hauteur, le cône a un volume égal à la moitié de celui du cylindre.

Corrigé

Faux : le volume du cône est égal au tiers (pas la moitié) du volume du cylindre correspondant.

Exercice 3

Calcule le volume approximatif d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $7$ cm (avec $\pi \approx 3{,}14$ ).

Corrigé

$V = \dfrac{\pi \times 9 \times 7}{3} \approx \dfrac{3{,}14 \times 63}{3} = \dfrac{197{,}82}{3} = 65{,}94$ cm³.

Exercice 4

Un cône a le même rayon et la même hauteur qu'un cylindre de volume $300$ cm³. Quel est le volume du cône ?

Corrigé

Cette propriété évite de refaire tout le calcul : il suffit de diviser le volume du cylindre par $3$ .

Exercice 5

Un cône a un volume de $314$ cm³ et un rayon de $5$ cm. Quelle est sa hauteur (avec $\pi \approx 3{,}14$ ) ?

Corrigé

On isole la hauteur dans la formule du volume du cône, en multipliant par $3$ et en divisant par l'aire de la base circulaire.

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