Définition de la racine carrée

La racine carrée

Pour un nombre positif $a$ , la racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique nombre positif dont le carré est égal à $a$ :

\left(\sqrt{a}\right)^2 = a

n

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

n^2

100

Exemples :

\sqrt{25} = 5

car

5^2 = 25

\sqrt{49} = 7

car

7^2 = 49

\sqrt{0} = 0 \qquad \sqrt{1} = 1

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas (dans l'ensemble des nombres que nous étudions au collège).

$\sqrt{a}$ n'est presque jamais égal à $\frac{a}{2}$ ou à une valeur "simple" : il faut bien retenir les carrés parfaits.

Exercice 1

Que vaut $\sqrt{36}$ ?

Corrigé

$6^2 = 36$ , donc $\sqrt{36} = 6$ .

Exercice 2

$\sqrt{a}$ existe pour :

Corrigé

La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls.

Exercice 3

$\sqrt{81} = 9$

Corrigé

$9^2 = 81$ , donc $\sqrt{81} = 9$ . L'affirmation est vraie.

Exercice 4

Que vaut $\left(\sqrt{17}\right)^2$ ?

Corrigé

Par définition de la racine carrée, $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ pour tout $a \geq 0$ : ici $\left(\sqrt{17}\right)^2 = 17$ .

Exercice 5

Explique pourquoi $\sqrt{-4}$ n'existe pas (au niveau collège), alors que $\sqrt{4}$ existe et vaut $2$ .

Corrigé

Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul, donc aucun nombre ne peut avoir un carré négatif.

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