Opérations sur les racines carrées

Additionner, soustraire et multiplier des racines

Addition et soustraction

On ne peut additionner ou soustraire que des racines carrées identiques (comme des termes semblables en calcul littéral) :

3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}

\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5} \quad \text{(erreur fréquente à éviter !)}

Multiplication

On utilise la règle $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ :

\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6

Combiner simplification et opérations

Exemple : $\sqrt{8} + \sqrt{18}$

On simplifie d'abord chaque terme : $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ et $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .

\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Calculer : $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$

Corrigé

Les deux termes ont la même racine ( $\sqrt{3}$ ), on additionne les coefficients : $4+5=9$ , donc $9\sqrt{3}$ .

Exercice 2

Calculer : $\sqrt{5} \times \sqrt{20}$

Corrigé

$\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10$ .

Exercice 3

$\sqrt{2} + \sqrt{8}$ peut se simplifier en $3\sqrt{2}$ .

Corrigé

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , donc $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ . L'affirmation est vraie.

Exercice 4

Simplifier : $\sqrt{27} + \sqrt{12}$

Corrigé

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ et $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , donc $\sqrt{27}+\sqrt{12} = 3\sqrt{3}+2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .

Exercice 5

Calcule et simplifie au maximum : $A = \sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5}$

Corrigé

On simplifie chaque racine pour obtenir des termes de même radical ( $\sqrt{5}$ ), puis on additionne/soustrait les coefficients comme en calcul littéral.

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