Simplifier une racine carrée

Simplifier des racines carrées

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a \geq 0, \, b \geq 0)

Cette règle permet de simplifier une racine en faisant apparaître un carré parfait.

Exemple : Simplifier $\sqrt{75}$ .

On cherche le plus grand carré parfait qui divise $75$ : $75 = 25 \times 3$ .

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, \, b > 0)

Exemple : $\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \dfrac{4}{3}$

Une racine carrée est sous sa forme la plus simple quand le nombre sous le radical ne contient plus aucun facteur carré parfait (autre que $1$ ).

Exercice 1

Simplifier : $\sqrt{50}$

Corrigé

$50 = 25 \times 2$ , donc $\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .

Exercice 2

Simplifier : $\sqrt{\dfrac{49}{4}}$

Corrigé

$\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$ .

Exercice 3

$\sqrt{12}$ peut se simplifier en $2\sqrt{3}$ .

Corrigé

$12 = 4 \times 3$ , donc $\sqrt{12} = \sqrt{4}\times\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ . L'affirmation est vraie.

Exercice 4

Simplifier : $\sqrt{98}$

Corrigé

$98 = 49 \times 2$ , donc $\sqrt{98} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ .

Exercice 5

Simplifie $\sqrt{72}$ puis calcule $\sqrt{72} \times \sqrt{2}$ sous forme la plus simple possible.

Corrigé

On extrait le plus grand carré parfait possible ( $36$ ), puis on utilise $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$ pour simplifier le produit final.

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