Bilan progressif : tout le programme de 2nde

Que vaut $|-9|$ ?

La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|-9| = 9$.

Comment s'écrit l'ensemble des réels $x$ tels que $-1 < x \leqslant 6$ ?

La borne $-1$ est exclue (crochet ouvert) car $<$, et la borne $6$ est incluse (crochet fermé) car $\leqslant$. On obtient $]-1;6]$.

Résous l'équation $4x - 5 = 3x + 2$.

$4x-3x = 2+5 \implies x = 7$.

Pour un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu $\theta$ est égal à $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

C'est faux : $\cos(\theta) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. C'est le sinus qui correspond à $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Dans un repère, quelles sont les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ avec $A(-2;5)$ et $B(4;1)$ ?

Les coordonnées du milieu sont la moyenne des coordonnées : $x_I = \dfrac{-2+4}{2}=1$ et $y_I = \dfrac{5+1}{2}=3$.

Résous l'inéquation $3x + 7 > 1$ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

On isole $x$ comme pour une équation ; le sens de l'inégalité ne change pas car on divise par un nombre positif ($3$). On exprime ensuite la solution sous forme d'intervalle.

Soit $I = [-3;5]$ et $J = [2;9]$. Que vaut $I \cap J$ ?

On garde la plus grande des deux bornes inférieures ($-3$ et $2$, donc $2$) et la plus petite des deux bornes supérieures ($5$ et $9$, donc $5$).

Soit $f(x) = -2x+3$. Quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Une fonction affine $f(x)=ax+b$ est décroissante si et seulement si $a<0$. Ici $a=-2<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle $\theta$ mesure $5$ cm et l'hypoténuse mesure $10$ cm. Calcule $\theta$ au degré près.

On utilise le cosinus car on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, puis la fonction réciproque $\cos^{-1}$ pour retrouver la mesure de l'angle.

Une urne contient $20$ boules numérotées de $1$ à $20$. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?

On compte le nombre d'issues favorables (les multiples de $3$ dans l'univers), puis on divise par le nombre total d'issues équiprobables.

Soit $A(1;2)$, $B(5;2)$ et $C(5;6)$ trois points du plan. Calcule la longueur $AC$ et précise la nature du triangle $ABC$.

On utilise la formule de la distance entre deux points dans un repère, puis on observe que les coordonnées révèlent deux droites perpendiculaires (l'une horizontale, l'autre verticale), ce qui caractérise un triangle rectangle.

Résous le système suivant : $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}$

On combine les deux équations (ici par addition, car les coefficients de $y$ sont opposés) pour obtenir une équation à une seule inconnue, puis on substitue pour trouver la seconde inconnue.

Une série statistique de $50$ valeurs a pour moyenne $\bar{x}=12$ et écart-type $\sigma=3$. On ajoute à chaque valeur de la série le nombre $5$. Quelles sont la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type ?

Une translation (ajout d'une constante à toutes les données) déplace la moyenne de cette même constante, mais ne modifie pas la dispersion des données entre elles, donc l'écart-type reste identique.

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Soit $A$ l'événement "obtenir un double" (les deux dés affichent le même numéro) et $B$ l'événement "la somme des deux dés vaut $8$". Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

On liste explicitement les issues favorables à chaque événement parmi les $36$ couples possibles, en remarquant que $(4,4)$ est le seul couple qui est à la fois un double et de somme $8$.

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Donne le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ en précisant les intervalles, sachant que la fonction carré atteint son minimum en $x=2$ pour cette expression (forme canonique : $f(x)=(x-2)^2-3$).

On s'appuie sur la forme canonique pour identifier le sommet de la parabole (ici un minimum, car le coefficient devant le carré est positif), ce qui détermine directement les deux intervalles de variation de la fonction.