Bilan progressif : tout le programme de 3ème

Résous l'équation $5x - 3 = 2x + 9$.

$5x-2x = 9+3 \implies 3x=12 \implies x=4$.

Vrai ou faux : $\sqrt{16} \times \sqrt{4} = \sqrt{64}$.

Vrai : $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$, donc $\sqrt{16}\times\sqrt{4}=\sqrt{64}=8$, et $4\times2=8$ aussi. ✓

Quelle est l'image de $x=3$ par la fonction $f(x) = 2x+1$ ?

$f(3) = 2\times3+1 = 6+1=7$.

Dans un triangle rectangle, si $\theta$ est un angle aigu, $\sin(\theta)$ est égal à :

Par définition, $\sin(\theta) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Calcule le volume d'une boule de rayon $r=3$ cm (valeur exacte en fonction de $\pi$).

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{ cm}^3$.

Résous l'inéquation $4x + 3 \leqslant 19$ et représente la solution sur une droite graduée (décris-la).

On résout l'inéquation comme une équation (le sens de l'inégalité ne change pas car on divise par un nombre positif), puis on représente la solution comme un intervalle sur la droite numérique.

Simplifie $\sqrt{75}$ en faisant apparaître le plus grand carré parfait possible.

On cherche le plus grand carré parfait diviseur de $75$ (ici $25$), puis on utilise la propriété $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$.

Dans un triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont situés respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$ tels que $(MN) \parallel (BC)$, avec $AM=4$, $AB=10$ et $AC=15$. Calcule $AN$.

Le théorème de Thalès permet d'établir des rapports égaux entre les longueurs des côtés de deux triangles formés par des droites parallèles.

Dans un triangle rectangle, l'angle aigu mesure $\theta$, le côté adjacent mesure $7$ cm et l'hypoténuse mesure $14$ cm. Calcule $\theta$ (au degré près).

On utilise le cosinus car on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, puis on applique la fonction réciproque $\cos^{-1}$ pour retrouver l'angle.

On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes (8 cartes par couleur : pique, cœur, carreau, trèfle). Quelle est la probabilité de tirer un cœur ou un roi ?

Quand deux événements peuvent se produire en même temps (ici, le roi de cœur), on additionne leurs probabilités puis on soustrait la probabilité de leur intersection pour éviter de compter deux fois.

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB=6$ cm et l'angle $\widehat{ABC}=40°$. Calcule $AC$ et $BC$ au dixième de cm près.

On choisit la fonction trigonométrique adaptée selon les côtés connus et recherchés : tangente pour relier les deux côtés non-hypoténuse, cosinus ou sinus pour relier un côté à l'hypoténuse.

Soit $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = -x + 6$ deux fonctions affines. Détermine les coordonnées du point d'intersection de leurs représentations graphiques.

Le point d'intersection de deux droites est le point dont les coordonnées vérifient les deux équations simultanément ; on résout donc $f(x)=g(x)$.

Une sphère de rayon $R=15$ cm est coupée par un plan situé à $9$ cm du centre. Calcule l'aire du disque de section.

On combine le théorème de Pythagore (pour trouver le rayon du disque de section à partir du rayon de la sphère et de la distance au centre) avec la formule de l'aire du disque.

Démontre que pour tout nombre $x$, $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$.

On développe les deux identités remarquables séparément avant de soustraire, en faisant bien attention à distribuer le signe « moins » sur tous les termes du second développement.

Un magasin vend des tee-shirts à un prix qui dépend de la quantité : $f(x) = 8x$ si $x \leqslant 10$ (où $x$ est le nombre de tee-shirts), et $f(x) = 6x + 20$ si $x > 10$ (tarif dégressif). Pour quelle quantité $x$ (avec $x>10$) les deux tarifs seraient-ils égaux si on les comparait au même prix ? Résous $8x = 6x+20$ et vérifie la cohérence du résultat avec la condition $x>10$.

Ce problème teste la capacité à résoudre une équation issue d'une situation concrète à tarifs multiples, et à interpréter le résultat par rapport au domaine de validité de chaque formule.