Discriminant et racines du trinôme

Le discriminant

Pour résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$ ), on calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

Théorème (nombre de racines)

Signe de

\Delta

Nombre de solutions

Solutions

|---|---|---|

$\Delta > 0$	deux solutions distinctes	$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	une solution (racine double)	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	aucune solution réelle	—

Exemple

Résolvons $2x^2-3x-2=0$ : $a=2$ , $b=-3$ , $c=-2$ .

\Delta = (-3)^2-4\times 2\times(-2) = 9+16 = 25 > 0

$\sqrt{\Delta} = 5$ , donc :

x_1 = \dfrac{3-5}{4} = -\dfrac{1}{2} \qquad x_2 = \dfrac{3+5}{4} = 2

Forme factorisée

Lorsque $\Delta \geqslant 0$ , le trinôme se factorise :
- si $\Delta>0$ : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
- si $\Delta=0$ : $f(x) = a(x-x_0)^2$ .

Si $\Delta<0$ , le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ (il garde un signe constant).

Somme et produit des racines

Quand $\Delta\geqslant 0$ , on a les relations utiles :

x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

Ces relations permettent parfois de retrouver rapidement des racines évidentes (par exemple $x=1$ ou $x=-1$ ).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Calcule le discriminant de $x^2-5x+6$ .

Corrigé

$\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24 = 1$ .

Exercice 2

Si $\Delta = 0$ , l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet exactement deux solutions distinctes.

Corrigé

Si $\Delta=0$ , il y a une unique solution (on parle de racine double) : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

Exercice 3

Combien de solutions réelles admet l'équation $x^2+x+1=0$ ?

Corrigé

$\Delta = 1^2-4\times1\times1 = 1-4=-3<0$ , donc aucune solution réelle.

Exercice 4

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x^2-2x-1=0$ .

Corrigé

On calcule $\Delta$ , on vérifie qu'il est positif, puis on applique les formules des deux racines.

Exercice 5

On sait que l'équation $x^2-7x+c=0$ admet $x_1=2$ comme solution. Déduis-en la valeur de $c$ et l'autre solution $x_2$ , en utilisant les relations entre coefficients et racines.

Corrigé

On exploite les relations $x_1+x_2=-b/a$ et $x_1x_2=c/a$ sans recalculer le discriminant.

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