Signe du trinôme et applications

Signe du trinôme $ax^2+bx+c$

Le signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du signe de $\Delta$ et du signe de $a$.

Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$)

Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $-a$ entre les racines.

|---|---|---|---|---|---|---|---|

Cas $\Delta = 0$ (racine double $x_0$)

Le trinôme est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et s'annule en $x_0$.

Cas $\Delta < 0$ (pas de racine réelle)

Le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel $x$ (il ne s'annule jamais).

Méthode complète

1. Calculer $\Delta = b^2-4ac$.
2. Si $\Delta>0$ : calculer $x_1, x_2$, construire le tableau de signes (signe de $a$ à l'extérieur, signe opposé entre les racines).
3. Si $\Delta \leqslant 0$ : conclure directement avec le signe de $a$ (en n'oubliant pas l'éventuelle racine double si $\Delta=0$).

Exemple

Étudions le signe de $f(x) = -x^2+3x+4$.

$\Delta = 9+16=25>0$, racines $x_1=-1$ et $x_2=4$ (à vérifier : somme $=3=-b/a$, produit $=-4=c/a$ ✓).

Comme $a=-1<0$ : $f(x)<0$ à l'extérieur de $[-1\,;\,4]$, et $f(x)>0$ sur $]-1\,;\,4[$.

Lien avec les inéquations et la parabole

Résoudre $f(x) \leqslant 0$ ou $f(x) \geqslant 0$ revient à lire le tableau de signes. Géométriquement, c'est lire les positions de la parabole au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses.

Application classique : optimisation. Par exemple pour maximiser une aire modélisée par une fonction du second degré $\mathcal{A}(x) = ax^2+bx+c$ avec $a<0$, le maximum est atteint au sommet $x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.