Intervalles de confiance

Que signifie « intervalle de confiance au niveau $95\%$ pour $\mu$ » ?

L'aléa porte sur l'intervalle (qui dépend de l'échantillon tiré), pas sur $\mu$ qui est une constante inconnue mais fixe. L'interprétation correcte est fréquentiste : sur un grand nombre de répétitions de l'échantillonnage, environ $95\%$ des intervalles construits contiendraient la vraie valeur $\mu$.

Quelle est la valeur de $z_{\alpha/2}$ pour un niveau de confiance de $95\%$ ?

Pour $1-\alpha=0{,}95$, on a $\alpha/2=0{,}025$, et le quantile de la loi $\mathcal N(0,1)$ correspondant est $z_{0{,}025}=1{,}960$ (valeur usuelle à connaître par cœur).

Vrai ou faux : plus le niveau de confiance $1-\alpha$ augmente, plus l'intervalle de confiance est large (à $n$ et $\sigma$ fixés).

Vrai. Augmenter le niveau de confiance (par exemple passer de $95\%$ à $99\%$) augmente le quantile $z_{\alpha/2}$ (de $1{,}960$ à $2{,}576$), donc augmente la marge d'erreur et donc la largeur de l'intervalle : on gagne en confiance mais on perd en précision.

Pour construire un IC pour une moyenne avec variance inconnue, quelle loi utilise-t-on pour le pivot $T = \dfrac{\overline X_n-\mu}{S_n/\sqrt n}$ ?

Lorsque $\sigma^2$ est inconnue et remplacée par son estimateur sans biais $S_n^2$, le pivot $T=\dfrac{\overline X_n-\mu}{S_n/\sqrt n}$ suit, pour un échantillon gaussien, une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté (et non une loi normale, qui ne s'applique que lorsque $\sigma$ est connue).

Quelle est la formule générale de l'IC pour une proportion $p$ par approximation normale ?

On utilise le quantile de la loi normale (et non de Student, réservée à la moyenne avec variance estimée), avec l'erreur-type $\sqrt{\widehat p(1-\widehat p)/n}$ propre à l'estimateur d'une proportion.

Un échantillon de $n=64$ mesures donne $\overline x = 50$ avec $\sigma=8$ connu. Quelle est la marge d'erreur de l'IC à $95\%$ pour $\mu$ ?

Marge $= z_{0{,}025}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n} = 1{,}960 \times \dfrac{8}{\sqrt{64}} = 1{,}960\times\dfrac{8}{8} = 1{,}960 \times 1 = 1{,}96$.

Avec les données de l'exercice précédent ($\overline x=50$, marge $=1{,}96$), quel est l'IC à $95\%$ pour $\mu$ ?

$IC_{95\%}(\mu) = [50-1{,}96\,;\,50+1{,}96] = [48{,}04\,;\,51{,}96]$.

Pour un échantillon de taille $n=10$, quel est le nombre de degrés de liberté de la loi de Student utilisée pour un IC sur une moyenne (variance inconnue) ?

Le nombre de degrés de liberté pour le pivot de Student est $n-1$ : ici $n-1 = 10-1 = 9$.

Vrai ou faux : pour $n$ grand (par exemple $n\geq 30$), la loi de Student $\mathcal T(n-1)$ est très proche de la loi normale $\mathcal N(0,1)$.

Vrai. Quand le nombre de degrés de liberté augmente, les queues de la loi de Student s'amincissent et la loi converge vers la loi normale centrée réduite ; pour $n\geq30$, l'approximation par $z_{\alpha/2}$ est en pratique très bonne.

Un sondage sur $n=200$ personnes trouve $\widehat p=0{,}6$ d'avis favorables. Que vaut $\sqrt{\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}$ ?

$\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}{n} = \dfrac{0{,}6\times0{,}4}{200} = \dfrac{0{,}24}{200} = 0{,}0012$, donc $\sqrt{0{,}0012}\approx 0{,}0346$.

Un échantillon de $n=25$ donne $\overline x=100$, avec $\sigma=15$ supposé connu. Construire l'IC à $90\%$ pour $\mu$ (utiliser $z_{0{,}05}=1{,}645$).

Erreur-type $=\dfrac{15}{\sqrt{25}}=\dfrac{15}{5}=3$. Marge $=1{,}645\times3=4{,}935$. $IC_{90\%}(\mu)=[100-4{,}935\,;\,100+4{,}935]=[95{,}07\,;\,104{,}93]$ (arrondi au centième).

Un échantillon de $n=10$ valeurs (loi supposée gaussienne) donne $\overline x = 12$ et $s=3$ (écart-type corrigé). Sachant que $t_{0{,}025,9}=2{,}262$, construire l'IC à $95\%$ pour $\mu$.

Erreur-type $= \dfrac{s}{\sqrt n} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}\approx 0{,}9487$. Marge $= t_{0{,}025,9}\times 0{,}9487 = 2{,}262\times0{,}9487\approx2{,}146$. $IC_{95\%}(\mu)=[12-2{,}146\,;\,12+2{,}146]=[9{,}85\,;\,14{,}15]$ (arrondi au centième).

Démontrer, à partir de la loi de $Z=\dfrac{\overline X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1)$, la formule de l'intervalle de confiance $IC_{1-\alpha}(\mu) = \left[\overline X_n - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\,;\,\overline X_n + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right]$.

Étape 1 : Par définition de $z_{\alpha/2}$, on a $P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2$, et par symétrie de la loi $\mathcal N(0,1)$, $P(Z<-z_{\alpha/2})=\alpha/2$. Donc $P(-z_{\alpha/2}\leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2-\alpha/2 = 1-\alpha$.

Étape 2 : On remplace $Z$ par son expression :

Étape 3 : On multiplie les trois membres de la double inégalité par $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}>0$ (ce qui ne change pas le sens des inégalités) :

Étape 4 : On soustrait $\overline X_n$ aux trois membres :

Étape 5 : On multiplie par $-1$, ce qui inverse le sens des deux inégalités :

On a donc bien $P\left(\overline X_n - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \leq \mu \leq \overline X_n + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right) = 1-\alpha$, ce qui établit la formule de l'intervalle de confiance. $\square$

On veut un IC pour une proportion avec une marge d'erreur d'au plus $5\%$ au niveau $95\%$, dans le cas le plus défavorable ($p=0{,}5$). Quelle taille d'échantillon minimale faut-il (utiliser $z_{0{,}025}=1{,}960$) ?

$n \geq \dfrac{z_{\alpha/2}^2\times0{,}25}{e^2} = \dfrac{1{,}960^2\times0{,}25}{0{,}05^2} = \dfrac{3{,}8416\times0{,}25}{0{,}0025} = \dfrac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}16$. On arrondit à l'entier supérieur : $n\geq385$.

On dispose de deux IC à $95\%$ pour la même moyenne $\mu$, obtenus sur deux échantillons indépendants de même taille $n$ : $IC_1=[10,2\,;\,14,8]$ et $IC_2=[20,1\,;\,24,5]$, qui ne se recouvrent pas. Que peut-on raisonnablement en conclure, et avec quelle prudence ?

Interprétation : des intervalles de confiance non superposés pour deux populations distinctes constituent un indice visuel fort que les moyennes $\mu_1$ et $\mu_2$ sous-jacentes diffèrent, car il serait peu probable, si $\mu_1=\mu_2$, d'observer deux échantillons donnant des intervalles aussi éloignés.

Prudence nécessaire : ce raisonnement par non-recouvrement d'IC n'est pas strictement équivalent à un test statistique formel de comparaison de deux moyennes (deux IC peuvent se recouvrir légèrement alors que la différence est significative à un test direct, et réciproquement dans des cas limites). La méthode rigoureuse, qui sera développée dans la leçon suivante, consiste à construire directement un test d'hypothèses sur la différence $\mu_1-\mu_2$, en utilisant l'erreur-type de cette différence plutôt que celle de chaque moyenne séparément.

Conclusion : l'absence de recouvrement est un indice qualitatif utile pour une première lecture des résultats, mais la conclusion définitive doit s'appuyer sur le test formel approprié, et non sur la simple comparaison visuelle des intervalles.