Tests d'hypothèses

Tests d'hypothèses

1. Principe général : hypothèse nulle et hypothèse alternative

Un test d'hypothèses est une procédure statistique permettant de trancher, à partir d'un échantillon, entre deux hypothèses concurrentes sur un paramètre $\theta$ de la population :

- Hypothèse nulle $H_0$ : l'hypothèse « par défaut », que l'on suppose vraie a priori (par exemple $H_0 : \mu = \mu_0$) ;
- Hypothèse alternative $H_1$ : l'hypothèse que l'on retiendrait si les données fournissent des preuves suffisantes contre $H_0$ (par exemple $H_1 : \mu \neq \mu_0$, ou $H_1 : \mu > \mu_0$, ou $H_1 : \mu < \mu_0$).

On parle de test bilatéral quand $H_1 : \theta \neq \theta_0$, et de test unilatéral quand $H_1 : \theta > \theta_0$ (unilatéral à droite) ou $H_1 : \theta < \theta_0$ (unilatéral à gauche).

Logique du test : on ne « prouve » jamais $H_0$ ; on cherche seulement si les données sont incompatibles avec $H_0$ au point de la rejeter. Si ce n'est pas le cas, on dit que l'on ne rejette pas $H_0$ (et non « on accepte $H_0$ », formulation à éviter).

2. Statistique de test et région de rejet

On construit une statistique de test $T_n$, fonction de l'échantillon, dont on connaît la loi sous l'hypothèse $H_0$. On fixe un seuil $\alpha \in (0,1)$, appelé niveau de signification (ou risque de première espèce), typiquement $\alpha = 0{,}05$.

La région de rejet (ou région critique) $R$ est l'ensemble des valeurs de $T_n$ pour lesquelles on rejette $H_0$, choisie de sorte que :

Règle de décision :
- si la valeur observée de $T_n$ tombe dans $R$ : on rejette $H_0$ au profit de $H_1$, au niveau $\alpha$ ;
- sinon : on ne rejette pas $H_0$.

3. Erreurs de première et deuxième espèce

Un test peut se tromper de deux façons :

|---|---|---|

- Erreur de première espèce ($\alpha$) : rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie. C'est le risque que l'on contrôle explicitement en fixant le niveau du test (c'est pourquoi $\alpha$ s'appelle aussi le « niveau » du test).
- Erreur de deuxième espèce ($\beta$) : ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse. La quantité $1-\beta$ s'appelle la puissance du test : c'est la capacité du test à détecter un effet réel quand il existe.

Remarque importante : à taille d'échantillon fixée, diminuer $\alpha$ (être plus exigeant pour rejeter $H_0$) augmente généralement $\beta$ (on devient moins capable de détecter un effet réel) : il y a un compromis entre les deux types d'erreur. La seule façon de réduire les deux simultanément est d'augmenter la taille de l'échantillon $n$.

4. La $p$-valeur

La $p$-valeur (ou valeur-$p$) est la probabilité, sous l'hypothèse $H_0$, d'observer une statistique de test au moins aussi extrême (dans le sens de $H_1$) que celle effectivement observée sur l'échantillon.

Règle de décision équivalente à la région de rejet :

Interprétation : une $p$-valeur petite signifie que les données observées seraient très improbables si $H_0$ était vraie — ce qui constitue une preuve contre $H_0$. À l'inverse, une $p$-valeur grande (proche de $1$) signifie que les données sont parfaitement compatibles avec $H_0$. La $p$-valeur n'est pas la probabilité que $H_0$ soit vraie — c'est une erreur d'interprétation fréquente à éviter absolument.

5. Test de Student pour une moyenne (comparaison à une valeur de référence)

On veut tester $H_0 : \mu = \mu_0$ contre $H_1 : \mu \neq \mu_0$ (test bilatéral), à partir d'un échantillon $X_1,\dots,X_n$ supposé gaussien, de variance $\sigma^2$ inconnue.

Statistique de test (sous $H_0$) :

Région de rejet bilatérale au niveau $\alpha$ : on rejette $H_0$ si $|T| > t_{\alpha/2,\,n-1}$ (le même quantile que celui de l'intervalle de confiance — ce qui n'est pas un hasard : le test bilatéral au niveau $\alpha$ rejette $H_0:\mu=\mu_0$ exactement quand $\mu_0$ n'appartient pas à l'IC à $1-\alpha$ pour $\mu$).

Pour un test unilatéral $H_1 : \mu > \mu_0$, on rejette $H_0$ si $T > t_{\alpha,\,n-1}$ (quantile à $\alpha$, non $\alpha/2$, car tout le risque est concentré du côté droit) ; symétriquement pour $H_1 : \mu < \mu_0$, on rejette si $T < -t_{\alpha,\,n-1}$.

Exemple résolu (test bilatéral). Un fabricant affirme que ses sachets de farine pèsent en moyenne $\mu_0 = 50$ g (référence). Sur un échantillon de $n=25$ sachets, on mesure $\overline x = 52$ g et $s = 6$ g (écart-type corrigé). Au niveau $\alpha = 0{,}05$, peut-on rejeter l'affirmation du fabricant ?

Hypothèses : $H_0 : \mu = 50$ contre $H_1 : \mu \neq 50$.

Statistique de test : $T = \dfrac{\overline x - \mu_0}{s/\sqrt n} = \dfrac{52-50}{6/\sqrt{25}} = \dfrac{2}{6/5} = \dfrac{2}{1{,}2} = 1{,}667$ (valeur observée).

Valeur critique : $t_{0{,}025,\,24} = 2{,}064$ (loi de Student à $24$ degrés de liberté).

Décision : $|T| = 1{,}667 < 2{,}064 = t_{0{,}025,24}$ : on ne rejette pas $H_0$ au niveau $5\%$. La $p$-valeur associée est $p \approx 0{,}109$ (calculée comme $2\times P(\mathcal T(24) > 1{,}667)$), et l'on a bien $p = 0{,}109 > 0{,}05 = \alpha$, ce qui confirme la décision de non-rejet.

Conclusion : l'écart observé ($52$ g contre $50$ g) n'est pas statistiquement significatif au niveau $5\%$ ; il est compatible avec une simple fluctuation d'échantillonnage autour de $\mu_0=50$.

6. Test de comparaison de deux moyennes (échantillons indépendants)

On veut tester $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ contre $H_1 : \mu_1 \neq \mu_2$, à partir de deux échantillons indépendants : $(X_1,\dots,X_{n_1})$ de moyenne $\overline X_{n_1}$ et variance estimée $S_1^2$, et $(Y_1,\dots,Y_{n_2})$ de moyenne $\overline Y_{n_2}$ et variance estimée $S_2^2$.

Statistique de test (cas des grands échantillons, ou variances supposées différentes — approximation de Welch) :

Sous $H_0$, $T$ suit approximativement une loi de Student dont le nombre de degrés de liberté $\nu$ est donné par la formule de Welch-Satterthwaite :

(En pratique, $\nu$ est arrondi à l'entier inférieur, et pour $n_1,n_2$ grands on peut directement utiliser $z_{\alpha/2}$.)

Exemple résolu. On compare le temps de résolution (en minutes) d'un exercice entre deux méthodes pédagogiques. Méthode 1 : $n_1=40$, $\overline x_1=78$, $s_1=10$. Méthode 2 : $n_2=35$, $\overline x_2=82$, $s_2=12$. Tester $H_0:\mu_1=\mu_2$ contre $H_1:\mu_1\neq\mu_2$ au niveau $\alpha=0{,}05$.

Erreur-type de la différence : $\sqrt{\dfrac{10^2}{40}+\dfrac{12^2}{35}} = \sqrt{\dfrac{100}{40}+\dfrac{144}{35}} = \sqrt{2{,}5+4{,}1143} = \sqrt{6{,}6143} \approx 2{,}572$.

Statistique de test : $T = \dfrac{78-82}{2{,}572} = \dfrac{-4}{2{,}572} \approx -1{,}555$.

Degrés de liberté (Welch) : $\nu \approx 66{,}5$, arrondi à $66$ ; pour ce $\nu$, $t_{0{,}025,66}\approx 1{,}996$.

Décision : $|T| = 1{,}555 < 1{,}996$ : on ne rejette pas $H_0$ au niveau $5\%$. La $p$-valeur associée est $p\approx 0{,}125 > 0{,}05$, ce qui confirme la conclusion : la différence observée de $4$ minutes entre les deux méthodes n'est pas statistiquement significative à ce niveau, avec ces tailles d'échantillon.

7. Démarche complète d'un test d'hypothèses (méthode à retenir)

1. Formuler $H_0$ et $H_1$ clairement, en lien avec la question posée (bilatéral ou unilatéral).
2. Choisir la statistique de test adaptée (Student pour une moyenne avec variance inconnue, etc.) et identifier sa loi sous $H_0$.
3. Fixer le niveau $\alpha$ (en général $0{,}05$, sauf indication contraire).
4. Calculer la valeur observée de la statistique de test à partir des données.
5. Déterminer la région de rejet (ou calculer la $p$-valeur).
6. Conclure : rejeter ou ne pas rejeter $H_0$, et formuler la conclusion en termes du problème concret (pas seulement en termes statistiques).

8. Lien entre intervalle de confiance et test bilatéral

Il existe une dualité exacte entre IC et test bilatéral : pour un test $H_0:\theta=\theta_0$ contre $H_1:\theta\neq\theta_0$ au niveau $\alpha$, on a :

C'est une façon pratique de retenir les deux notions ensemble : un intervalle de confiance à $1-\alpha$ peut se lire comme « l'ensemble des valeurs $\theta_0$ que le test bilatéral au niveau $\alpha$ ne rejetterait pas ».

9. Synthèse

|---|---|---|---|

Retenir : un test d'hypothèses est toujours une comparaison entre une statistique observée et un seuil critique déterminé par la loi de cette statistique sous l'hypothèse nulle, au niveau de risque $\alpha$ que l'on a choisi d'accepter.