Moyenne et médiane

La moyenne

La moyenne $\bar{x}$ d'une série statistique de $n$ valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ est :

\bar{x} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

Si les valeurs sont regroupées avec des effectifs $n_i$ , on utilise la moyenne pondérée :

\bar{x} = \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}

La médiane

La médiane $\text{Me}$ d'une série ordonnée est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins $50\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $\text{Me}$ , et au moins $50\%$ sont supérieures ou égales.

Méthode pour déterminer la médiane

1. Ordonner la série dans l'ordre croissant.
2. Si $n$ est impair, la médiane est la valeur centrale (rang $\dfrac{n+1}{2}$ ).
3. Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$ ).

Exemple : série ordonnée $2, 5, 7, 9, 12$ ( $n=5$ , impair) : médiane $= 7$ (3ème valeur).

Exemple : série ordonnée $2, 5, 7, 9$ ( $n=4$ , pair) : médiane $= \dfrac{5+7}{2} = 6$ .

Remarque : la moyenne et la médiane sont deux indicateurs de position centrale, mais la médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes (les valeurs très grandes ou très petites).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Calcule la moyenne de la série $4, 8, 6, 10, 7$ .

Corrigé

$\bar{x} = \dfrac{4+8+6+10+7}{5} = \dfrac{35}{5} = 7$ .

Exercice 2

Quelle est la médiane de la série ordonnée $1, 3, 5, 7, 9$ ?

Corrigé

Avec $5$ valeurs (impair), la médiane est la valeur centrale, ici la 3ème : $5$ .

Exercice 3

La médiane est toujours égale à la moyenne d'une série statistique.

Corrigé

Moyenne et médiane sont deux indicateurs différents qui coïncident parfois (séries symétriques) mais sont en général différents, surtout en présence de valeurs extrêmes.

Exercice 4

Quelle est la médiane de la série ordonnée $2, 4, 6, 8$ (4 valeurs) ?

Corrigé

Avec $4$ valeurs (pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales ( $4$ et $6$ ) : $\dfrac{4+6}{2}=5$ .

Exercice 5

Une classe de $20$ élèves a une moyenne de $12$ à un devoir. Un nouvel élève arrive et obtient $19$ à ce devoir. Calcule la nouvelle moyenne de la classe (21 élèves) arrondie au centième.

Corrigé

On retrouve la somme totale des notes à partir de la moyenne initiale ( $\text{somme} = \text{moyenne} \times \text{effectif}$ ), on ajoute la nouvelle valeur, puis on recalcule la moyenne avec le nouvel effectif.

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