Variance et écart-type

Pourquoi mesurer la dispersion ?

Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais être très différemment dispersées autour de cette moyenne. La variance et l'écart-type permettent de quantifier cette dispersion par rapport à la moyenne.

La variance

La variance $V$ d'une série de valeurs $x_1, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

V = \dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}

L'écart-type

L'écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance :

\sigma = \sqrt{V}

Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance ? La variance est exprimée dans l'unité au carré (par exemple en $\text{cm}^2$ si les données sont en cm), ce qui n'est pas pratique à interpréter. L'écart-type, lui, est exprimé dans la même unité que les données.

Méthode de calcul

1. Calculer la moyenne $\bar{x}$ .
2. Calculer chaque écart $(x_i-\bar{x})$ , puis l'élever au carré.
3. Faire la moyenne de ces carrés : c'est la variance $V$ .
4. Prendre la racine carrée de $V$ pour obtenir $\sigma$ .

Exemple : série $2, 4, 6$ de moyenne $\bar{x}=4$ .

Écarts : $-2, 0, 2$ . Carrés des écarts : $4, 0, 4$ .

V = \dfrac{4+0+4}{3} = \dfrac{8}{3} \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1{,}63

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne ; un écart-type proche de $0$ signifie que les valeurs sont très regroupées autour de la moyenne.

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'écart-type est :

Corrigé

Par définition, $\sigma = \sqrt{V}$ : l'écart-type est la racine carrée de la variance.

Exercice 2

Pourquoi préfère-t-on souvent utiliser l'écart-type plutôt que la variance pour interpréter une dispersion ?

Corrigé

La variance est exprimée dans l'unité au carré des données, ce qui complique l'interprétation. L'écart-type ramène la dispersion dans l'unité d'origine des données.

Exercice 3

Un écart-type proche de $0$ signifie que les valeurs de la série sont très dispersées.

Corrigé

Au contraire, un écart-type proche de $0$ signifie que les valeurs sont très peu dispersées, c'est-à-dire regroupées autour de la moyenne.

Exercice 4

Une série a une variance $V=25$ . Quel est son écart-type ?

Corrigé

$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{25} = 5$ .

Exercice 5

Calcule la variance puis l'écart-type de la série $3, 5, 7, 9$ (donne l'écart-type sous forme exacte simplifiée).

Corrigé

On suit méthodiquement les quatre étapes du calcul : moyenne, écarts à la moyenne, carrés de ces écarts dont on fait la moyenne (variance), puis racine carrée (écart-type).

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