Les arbres de probabilité

Qu'est-ce qu'un arbre de probabilité ?

Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) représente toutes les issues possibles d'une expérience à plusieurs épreuves, sous forme de branches. Chaque branche porte la probabilité de l'événement qu'elle représente.

Les règles de l'arbre

- Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent est égale à $1$ .
- La probabilité d'un chemin complet (de la racine à une feuille) est le produit des probabilités le long de ce chemin.
- La probabilité d'un événement représenté par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

Exemple

Un sac contient $3$ billes rouges et $2$ billes vertes. On tire une bille, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde.

P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{5} \qquad P(\text{verte}) = \dfrac{2}{5}

La probabilité de tirer deux billes rouges (Rouge puis Rouge) :

P(\text{R, R}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}

La probabilité de tirer une bille de chaque couleur (dans n'importe quel ordre) :

P(\text{une de chaque}) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25} = \dfrac{12}{25}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un arbre de probabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un chemin complet ?

Corrigé

La probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Exercice 2

Vrai ou faux : sur un même nœud d'un arbre, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut toujours $1$ .

Corrigé

Vrai, car ces branches représentent toutes les issues possibles à cette étape, qui couvrent $100\%$ des cas.

Exercice 3

Un sac contient $4$ billes rouges et $6$ billes bleues. On tire une bille, on la remet, puis on en tire une autre. Quelle est la probabilité de tirer deux billes bleues ?

Corrigé

$P(\text{bleue}) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ , donc $P(\text{bleue, bleue}) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ .

Exercice 4

Une urne contient $2$ boules noires et $3$ boules blanches. On tire deux boules successivement, avec remise. Construis l'arbre (décris les branches) et calcule la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.

Corrigé

Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire « aucune boule noire » (un seul chemin) puis de soustraire à $1$ .

Exercice 5

Un joueur tire deux fois de suite, sans remise, dans un jeu de $4$ cartes (2 rois, 2 dames). Quelle est la probabilité de tirer deux rois ?

Corrigé

Sans remise, les probabilités du second tirage dépendent du résultat du premier : on doit recalculer les effectifs restants à chaque étape.

AlphaMath Académie · Les arbres de probabilité · Statistiques et probabilités