Événement contraire, certain et impossible

L'événement contraire

L'événement contraire d'un événement $A$ (noté $\overline{A}$ ou « non $A$ ») se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas. La somme de leurs probabilités est toujours égale à $1$ :

P(A) + P(\overline{A}) = 1

Exemple

On lance un dé. Soit $A$ l'événement « obtenir un $6$ ». Alors $\overline{A}$ est « ne pas obtenir un $6$ ».

P(A) = \dfrac{1}{6} \implies P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}

Événement certain et événement impossible

- Un événement certain se réalise toujours : $P = 1$ .
- Un événement impossible ne se réalise jamais : $P = 0$ .

Exemple

On lance un dé à $6$ faces. « Obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est un événement certain. « Obtenir un $7$ » est un événement impossible.

En pratique, l'événement contraire est très utile lorsqu'il est plus simple de calculer « ce qui ne se passe pas » que l'événement lui-même.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $P(A) = 0{,}3$ , quelle est la probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ ?

Corrigé

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1-0{,}3 = 0{,}7$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : un événement impossible a une probabilité de $0$ .

Corrigé

Vrai, par définition, un événement qui ne peut jamais se produire a une probabilité de $0$ .

Exercice 3

On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes. $A$ est l'événement « tirer un cœur » avec $P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ . Quelle est la probabilité de ne pas tirer un cœur ?

Corrigé

$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ .

Exercice 4

Un sac contient des billes rouges et bleues uniquement. La probabilité de tirer une bille rouge est $\dfrac{2}{5}$ . Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?

Corrigé

Comme il n'y a que deux couleurs possibles, l'une est l'événement contraire de l'autre : leurs probabilités s'additionnent à $1$ .

Exercice 5

Une urne contient $20$ boules numérotées de $1$ à $20$ . On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un multiple de $5$ ?

Corrigé

On calcule d'abord la probabilité de l'événement direct, puis on utilise la formule de l'événement contraire pour obtenir le résultat demandé.

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