Somme des termes

Calculer la somme $S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 19$ (suite des impairs).

Il y a 10 termes ($u_0 = 1$, $r = 2$, $u_9 = 19$). $S = 10 \times \frac{1+19}{2} = 10 \times 10 = 100$. Remarque : la somme des $n$ premiers impairs vaut toujours $n^2$ !

Calcule la somme des $50$ premiers entiers naturels non nuls : $1+2+3+\cdots+50$.

$\sum_{k=1}^{50} k = \dfrac{50\times51}{2} = \dfrac{2550}{2} = 1275$.

Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0=4$ et $r=3$. Calcule $S = u_0+u_1+\cdots+u_{10}$ (les $11$ premiers termes).

On calcule d'abord le dernier terme $u_{10}$ avec la formule du terme général, puis on applique la formule de la somme : (nombre de termes) × (moyenne du premier et dernier terme).

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=1$ et raison $r=2$ (les entiers impairs). Sachant que la somme des $n+1$ premiers termes d'une telle suite vaut toujours $(n+1)^2$, retrouve ce résultat à partir de la formule générale $S_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}$, puis calcule $S_n$ pour $n=14$ (somme des $15$ premiers impairs).

On part de la formule générale de la somme et on simplifie l'expression algébriquement pour retrouver la propriété remarquable $S_n=(n+1)^2$ propre à la suite des entiers impairs, avant d'appliquer cette formule à un cas numérique.